Die Vorlesung richtet sich teilweise nach einem Skript von Prof. van Dongen sowie dem Buch von Prof. Czycholl.
| 15.04.13 |
1. Vorlesung
- Organisation und Inhaltsüberblick
- Kapitel 0: Einführung: Theorie der Kondensierten Materie vs. Theoretische Festkörperphysik vs. Chemie, Einbettung in Gesamtgebäude der Physik auf mittleren Skalen, Statistische Physik für Atomkerne und Elektronen mit Coulomb-Wechselwirkung, allgemeiner Hamilton-Operator, kleiner Parameter: m/M
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| 17.04.13 |
2. Vorlesung
- Kapitel 1: Periodische Strukturen: Kristall als normale Tieftemperaturstruktur von Festkörpern; Ausnahmen: Gläser, Kunststoffe, amorphe Metalle ...
- 1.1 Kristall-System und Kristall-Gitter: Bravais-Gitter, Basisvektoren, (primitive) Einheitszelle, Wigner-Seitz-Zelle
- 2 Dimensionen: quadratisches, rechtwinkliges, hexagonales, schiefwinkliges System; zentriert-rechtwinkliges Gitter
- 3 Dimensionen: 7 Kristallsysteme, 14 Bravais-Gitter, kubische Gitter (sc, fcc, bcc)
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| 22.04.13 |
3. Vorlesung
- Kristall-Struktur: Gitter mit Basis, z.B. NaCl oder Diamant, konventionelle Einheitszelle
- 1.2 Reziprokes Gitter: Definition, Konstruktion in d=3, Volumen der Einheitszelle des Reziproken Gitters
- Brillouin-Zone, BZ des fcc-Gitters mit Symmetriepunkten; Beispiel: Dreiecksgitter
- Reziproke Gittervektoren und Gitterebenen, Miller-Indizes
- 1.3 Periodische Funktionen: Fourier-Reihe über reziproke Gittervektoren; vollständige orthonormale Funktionensysteme
- Anwendungsbeispiel: Kristallstrukturanalyse: elastische Streuung, Bragg-Reflexionsbedingung
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| 25.04.13 |
4. Vorlesung
- Kapitel 2: Entkopplung von Gitter und Elektrondynamik
- Allgemeine Festkörper-Schrödingergleichung (in SI-Einheiten), kleiner Parameter m/M
- 2.1 Born-Oppenheimer-Entwicklung: dimensionslose Koordinaten, Längenskala: Bohr-Radius, Energieskala: Rydberg
- Grenzfall m/M=0, Entwicklung nach elektronischen Wellenfunktionen, Übergangsmatrix, Ionen-SG
- Abschätzung der Energieskalen in Potenzen von m/M
- 2.2 Bindung und effektive Kern-Kern-Wechselwirkung: empirische Ansätze auf Basis von 2-Körper-Potentialen, Struktur von v(R)
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| 29.04.13 |
5. Vorlesung
- van-der-Waals-Bindung, Lennard-Jones-Potential, Kristallkonstante (z.B. für fcc-Gitter)
- Ionen-Bindung, Madelung-Konstante, kovalente-Bindung, Morse-Potential, metallische Bindung, harmonische Näherung
- Übung: Besprechung Aufgabenblatt 1
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| 01.05.13 |
Tag der Arbeit
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| 06.05.13 |
6. Vorlesung
- Kapitel 3: Gitterschwingungen (Phononen)
- 3.1 Harmonische Näherung: ionischer Hamilton-Operator in harmonischer Näherung, Massentensor, dynamische Matrix, Ansatz ebener Wellen
- Exkurs: Ehrenfest-Theorem
- 3.2 Klassische Bewegungsgleichungen: Kraftkonstante, ebene Wellen, Polarisationsvektoren, allgemeine Lösung
- Beispiel: lineare 1-atomige Kette
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| 08.05.13 |
7. Vorlesung (Planung)
- 3.3 Periodische (Born-von-Karman) Randbedingungen
- 3.4 Quantisierte Gitterschwingungen, Phononen: Phononen als Quasiteilchen, Besetzungszahlen, Dispersionsrelationen, Entwicklung um q=0, akustische versus optische Phononen
- ab 1115 Uhr: Vollversammlung FS Physik/Meteorologie
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| 13.05.13 |
8. Vorlesung
- 3.5 Thermodynamik der Gitterschwingungen, Debye- und Einstein-Modell: Innere Energie und Bose-Funktion, Grenzfälle hoher und tiefer Temperaturen
- Schallgeschwindigkeiten, spezifische Wärme
- Übung: Besprechung Aufgabenblatt 2
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| 15.05.13 |
9. Vorlesung
- Beispiel: experimentelle Phononendispersionen in 3 Dimensionen (Bravais-Gitter vs. 2-atomiges Gitter, Entartung, i.A. keine energetische Trennung von akustischen und optischen Phononen)
- Debye-Modell, -Temperatur, -Frequenz, Spezifische Wärme im Debye-Modell, Debye-Funktionen, Vergleich mit Experiment
- Einstein-Modell, -Temperatur, Energielücke
- 3.6 Phononen-Zustandsdichte: Zustandsdichte als Oberflächenintegral
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| 20.05.13 |
Pfingstmontag
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| 22.05.13 |
10. Vorlesung
- Zustandsdichte als Imaginärteil einer retardierten Green-Funktion
- Beispiel: einatomige lineare Kette
- Van-Hove-Singularität, Zustandsdichte im Debye-Modell
- Klassifikation von van-Hove-Singularitäten in d=3: Minimum, Maximum, Sattelpunkt der Dispersion
- Übung: Besprechung Aufgabenblatt 3
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| 27.05.13 |
11. Vorlesung
- 3.7 Die harmonische Kette mit 2-atomiger Basis: periodische Delta-Funktion, Block-Diagonalisierung mit unitärer FT, char. Polynom, akustischer und optischer Phononenzweig für kleine q.
- 3.7.1 Spezialfall: M1=M2=M (2. Zweig wegen Verdoppelung der Einheitszelle)
- 3.7.2 Spezialfall: M1≫M2: Entwicklung in M2/M1 und Vergleich mit exakten numerischen Berechnungen
- 3.8 Unzulänglichkeiten der harmonischen Näherung: keine thermische Ausdehnung, unendliche Wärmeleitfähigkeit
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| 29.05.13 |
12. Vorlesung
- 3.8.1 Jenseits der harmonischen Näherung: Entwicklung in 4. Ordnung in den Auslenkungen → wechselwirkende Phononen ohne Teilchenzahlerhaltung
- 3.8.2 Der thermische Ausdehnungskoeffizient: thermodynamische Relationen für Ausdehnungskoeffizient αN und isotherme Kompressibilität κT,N, Grüneisenparameter γμ, spezifische Wärme
- 3.8.3 Berechnung der Grüneisen-Parameter für Bravais-Gitter mit 1-atomiger Basis: Entwicklung um verschobene Gleichgewichtslagen
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| 03.06.13 |
13. Vorlesung
- Kanonische Transformation; Grüneisenparameter durch kubische Terme in Ableitungen des kubischen Potentials bestimmt
- 3.8.4 Elektronischer Beitrag zur thermischen Ausdehnung: Ableitung für freies Elektronengas
- Exkurs Quantengase: großkanonische Zustandssumme, großk. Potential, Druck, innere Energie, mittlere Besetzungszahl
- Übung: Besprechung Aufgabenblatt 4
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| 05.06.10 |
14. Vorlesung
- Zustandsdichte an der Fermikante ν(εF), Fermi-Temperatur, Vergleich mit phononischem Beitrag zur spezifischen Wärme für d=1,2,3, Kompressibilität
- 3.8.5 Nichtwechselwirkende Fermionen bei tiefen Temperaturen: Sommerfeld-Entwicklung: Pauli-Prinzip, Fermi-Funktion, Fermi-Energie, chemisches Potential, Sommerfeld-Entwicklung, Sommerfeld-Koeffizienten, Komplikationen bei Tieftemperaturentwicklung bei fester Dichte/Teilchenzahl.
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| 10.06.13 |
15. Vorlesung
- Kapitel 4: Elektronen im periodischen Potential
- Näherungen: starres Gitter, keine Elektron-Elektron-Wechselwirkung → Slater-Determinanten, Einteilchentheorie
- 4.1 Elektron im periodischen Potential, Bloch-Theorem: Translationsoperator, Vertauschungsregeln, Bloch-Theorem, periodische Randbedingungen, Wellenfunktion und Schrödinger-Gleichung in Impulsdarstellung
- Übung: Besprechung Aufgabenblatt 5
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| 12.06.13 |
16. Vorlesung
- Partielle Differentialgleichung für Bloch-Faktoren, Normierung der Wellenfunktion, Vergleich mit Phononen, Vollständigkeitsrelation
- 4.2 Näherung fast freier Elektronen: fouriertransformierte SG, reduziertes und ausgedehntes Zonenschema, Koeffizientengleichung in führender Ordnung im Gitterpotential V, quantenmechanische Brillouin-Wigner-Störungsreihe
- Für k-Vektoren ohnen Entartung: Rayleigh-Schrödinger-Störungsreihe, Korrekturen quadratisch in V; entartete Störungstheorie: lineare Aufspaltung an Entartungspunkten
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| 17.06.13 |
17. Vorlesung
- 4.3 k·p-Störungsrechnung, effektiver Massentensor und Gruppengeschwindigkeit: Entwicklung der Dispersion um k=0 (ohne Entartung) → Tensor der (inversen) effektiven Masse, Entwicklung um k≠0
- Gradient der Dispersion als Erwartungswert der Blochfunktionen und als Gruppengeschwindigkeit
- Kramers-Theorem ε(-k)=ε(k) mit Verallgemeinerung auf allgemeine Punktsymmetrien
- 4.4 Modell starker Bindung (tight-binding-Modell), Wannier-Zustände: atomarer Grenzfall, Einfluss anderer Atome als Störung, Aufspaltung atomarer Niveaus im N-Teilchen-System, atomare Wellenfunktionen als Ansatz, Ritzsches Variationsprinzip
- Übung: Besprechung Aufgabenblatt 6
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| 19.06.13 |
18. Vorlesung
- direkter Überlapp, Potential-Matrixelement, Dreizentren-Integral, Dispersion in TB-Näherung
- Wannier-Funktionen als FT von Bloch-Funktionen und als ONS, Dispersionsrelationen, Hüpfmatrixelement. Beispiel: kubisches Gitter (Dispersion, effektive Masse)
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| 24.06.13 |
19. Vorlesung
- Wannier-Funktions-Formalismus: (i) Modell-Ansatz mit freien Parametern, (ii) als grobe Approximation, z.B. mit atomaren Wellenfunktionen, (iii) für groben Fit, z.B. mit LCAO-Methode (linear combination of atomic orbitals) (iv) numerisch
- Numerische Bandstruktur-Methoden (Überblick): Zellenmethode, Entwicklung nach ebenen Wellen, Augmented Plane Waves (mit Muffin Tin Potential), Green-Funktions-Methoden (Korringa-Kohn-Rostoker, KKR), Orthogonalized Plane Waves (OPW), Pseudopotential-Methoden. Lösen komplexes Problem: singuläres Potential, reduzierte Symmetrie.
- Bandstruktur-Methoden anwendbar auch auf wechselwirkende Elektronen im Rahmen der Dichtefunktional-Theorie (DFT).
- TB-Zustandsdichte für hyperkubisches Gitter: Fouriertransformierte ν(η) der Zustandsdichte → Bessel-Funktionen 1. Gattung J0
- Exkurs Bessel-Funktionen: Bessel-Differentialgleichung (lineare gewöhnliche DGL 2. Ordnung), Bessel-Funktionen 1. Gattung Jn(x) und 2. Gattung Yn(x), Darstellung
- Zustandsdichte der linearen Kette (d=1), Faltungsbeziehung zwischen Zustandsdichten bei separabler Dispersion
- Legendre-Funktion, vollständiges elliptisches Integral der 1. Akt, Zustandsdichten von Quadratgitter und einfach kubischem Gitter, Hyperkubisches Gitter im Limes d→∞, 2-d-Zustandsdichte aus Faltung
- Fermi-Fläche und Perfect Nesting (Beispiele: Quadratgitter, hyperkubisches Gitter)
- Übung: Besprechung Aufgabenblatt 7
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| 26.06.13 |
20. Vorlesung
- Kapitel 5: Elektronen im Magnetfeld
- Kapitel 6: Elektron-Elektron-Wechselwirkung
- 6.1 Landau-Fermi-Flüssigkeitstheorie: Quasiteilchen, renormierte effektive Masse, endliche Lebensdauer, Phasenraum-Argument: Unterdrückung von Stoßprozessen
- 6.2 Dichtefunktionaltheorie (DFT): quantitative ab initio Theorie, Hohenberg-Kohn-Theorem (1964), Beweis nach Levy (1979), Hartree-Näherung, elektronische Korrelationen, Austausch, Thomas-Fermi-Näherung,
- Kohn-Sham-Gleichungen, Austausch-Korrelationsenergie, lokale Dichte-Näherung (LDA), Jellium-Modell, Iterationszyklus, Interpretationen der KS-Parameter als Dispersionsrelationen
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