Die Vorlesung richtet sich teilweise nach einem Skript von Prof. van Dongen sowie dem Buch von Prof. Czycholl.
| 28.10.10 |
1. Vorlesung (KondMat_2010WS_V01.pdf)
- Organisation und Inhaltsüberblick
- Kurze Erläuterung zu Aufgabenblatt 1
- Kapitel 0: Einführung: Theorie der Kondensierten Materie vs. Theoretische Festkörperphysik vs. Chemie, Einbettung in Gesamtgebäude der Physik auf mittleren Skalen, Statistische Physik für Atomkerne und Elektronen mit Coulomb-Wechselwirkung, allgemeiner Hamilton-Operator, kleiner Parameter: m/M
|
| 02.11.10 |
2. Vorlesung (KondMat_2010WS_V02.pdf)
- Slides: Beispiele für typische Fragestellungen in der Festkörperphysik: Quantum Monte Carlo simulations of ultracold fermions on optical lattices within dynamical mean-field theory
- Kapitel 1: Periodische Strukturen: Kristall als normale Tieftemperaturstruktur von Festkörpern; Ausnahmen: Gläser, Kunststoffe, amorphe Metalle ...
- 1.1 Kristall-System und Kristall-Gitter: Bravais-Gitter, Basisvektoren, (primitive) Einheitszelle, Wigner-Seitz-Zelle
- 2 Dimensionen: quadratisches, rechtwinkliges, hexagonales, schiefwinkliges System; zentriert-rechtwinkliges Gitter
- 3 Dimensionen: 7 Kristallsysteme, 14 Bravais-Gitter, kubische Gitter (sc, fcc, bcc)
- Kristall-Struktur: Gitter mit Basis, z.B. NaCl oder Diamant
- 1.2 Reziprokes Gitter
|
| 04.11.10 |
3. Vorlesung (KondMat_2010WS_V03.pdf)
- Nachtrag: konventionelle Einheitszelle, Matrixschreibweise für reziprokes Gitter
- Brillouin-Zone, BZ des fcc-Gitters mit Symmetriepunkten; Beispiel: Dreiecksgitter
- Reziproke Gittervektoren und Gitterebenen, Miller-Indizes
- 1.3 Periodische Funktionen: Fourier-Reihe über reziproke Gittervektoren; vollständige orthonormale Funktionensysteme
- Anwendungsbeispiel: Kristallstrukturanalyse: elastische Streuung, Bragg-Reflexionsbedingung
|
| 09.11.10 |
4. Vorlesung (KondMat_2010WS_V04.pdf)
- Kapitel 2: Entkopplung von Gitter und Elektrondynamik
- Allgemeine Festkörper-Schrödingergleichung (in SI-Einheiten), kleiner Parameter m/M
- 2.1 Born-Oppenheimer-Entwicklung: dimensionslose Koordinaten, Längenskala: Bohr-Radius, Energieskala: Rydberg
- Grenzfall m/M=0, Entwicklung nach elektronischen Wellenfunktionen, Übergangsmatrix, Ionen-SG
- Abschätzung der Energieskalen in Potenzen von m/M
|
| 11.11.10 |
5. Vorlesung (KondMat_2010WS_V05.pdf)
- Übung: Besprechung Aufgabenblatt 1
- 2.2 Bindung und effektive Kern-Kern-Wechselwirkung: empirische Ansätze auf Basis von 2-Körper-Potentialen, Struktur von v(R)
- van-der-Waals-Bindung, Lennard-Jones-Potential, Kristallkonstante (z.B. für fcc-Gitter)
- Ionen-Bindung, Madelung-Konstante, kovalente-Bindung, Morse-Potential, metallische Bindung, harmonische Näherung
|
| 18.11.10 |
6. Vorlesung (KondMat_2010WS_V06.pdf)
- Kapitel 3: Gitterschwingungen (Phononen)
- 3.1 Harmonische Näherung: ionischer Hamilton-Operator in harmonischer Näherung, Massentensor, dynamische Matrix, Ansatz ebener Wellen
- Exkurs: Ehrenfest-Theorem
- 3.2 Klassische Bewegungsgleichungen: Kraftkonstante, ebene Wellen, Polarisationsvektoren, allgemeine Lösung
- Beispiel: lineare 1-atomige Kette
|
| 23.11.10 |
7. Vorlesung (KondMat_2010WS_V07.pdf)
- Besprechung Übung?
- 3.3 Periodische (Born-von-Karman) Randbedingungen
- 3.4 Quantisierte Gitterschwingugen, Phononen: Phononen als Quasiteilchen, Besetzungszahlen, Dispersionsrelationen, Entwicklung um q=0, akustische versus optische Phononen
|
| 25.11.10 |
8. Vorlesung (KondMat_2010WS_V08.pdf)
- 3.5 Thermodynamik der Gitterschwingungen, Debye- und Einstein-Modell: Innere Energie und Bose-Funktion, Grenzfälle hoher und tiefer Temperaturen, Schallgeschwindigkeiten, spezifische Wärme
- Debye-Modell, -Temperatur, -Frequenz
|
| 30.11.10 |
9. Vorlesung (KondMat_2010WS_V09.pdf)
- Spezifische Wärme im Debye-Modell, Debye-Funktionen, Vergleich mit Experiment
- Einstein-Modell, -Temperatur, Energielücke
- 3.6 Phononen-Zustandsdichte: Zustandsdichte als Oberflächenintegral und als Imaginärteil einer retardierten Green-Funktion
- Beispiel: einatomige lineare Kette
- Van-Hove-Singularität, Zustandsdichte im Debye-Modell
|
| 02.12.10 |
10. Vorlesung (KondMat_2010WS_V10.pdf)
- Klassifikation von van-Hove-Singularitäten in d=3: Minimum, Maximum, Sattelpunkt der Dispersion
|
| 07.12.10 |
11. Vorlesung (KondMat_2010WS_V11.pdf)
- 3.7 Die harmonische Kette mit 2-atomiger Basis: periodische Delta-Funktion, Block-Diagonalisierung mit unitärer FT, char. Polynom, akustischer und optischer Phononenzweig für kleine q.
- 3.7.1 Spezialfall: M1=M2=M (2. Zweig wegen Verdoppelung der Einheitszelle)
- 3.7.2 Spezialfall: M1≫M2: Entwicklung in M2/M1 und Vergleich mit exakten numerischen Berechnungen
- Beispiel: experimentelle Phononendispersionen in 3 Dimensionen (i.A. keine energetische Trennung von akustischen und optischen Phononen)
- 3.8 Unzulänglichkeiten der harmonischen Näherung: keine thermische Ausdehnung, unendliche Wärmeleitfähigkeit
|
| 09.12.10 |
12. Vorlesung (KondMat_2010WS_V12.pdf)
- 3.8.1 Jenseits der harmonischen Näherung: Entwicklung in 4. Ordnung in den Auslenkungen → wechselwirkende Phononen ohne Teilchenzahlerhaltung
|
| 14.12.10 |
13. Vorlesung (KondMat_2010WS_V13.pdf)
- 3.8.2 Der thermische Ausdehnungskoeffizient: thermodynamische Relationen für Ausdehnungskoeffizient αN und isotherme Kompressibilität κT,N, Grüneisenparameter γμ, spezifische Wärme
- 3.8.3 Berechnung der Grüneisen-Parameter für Bravais-Gitter mit 1-atomiger Basis: Entwicklung um verschobene Gleichgewichtslagen; Grüneisenparameter durch kubische Terme in Ableitungen des kubischen Potentials bestimmt
|
| 16.12.10 |
14. Vorlesung (KondMat_2010WS_V14.pdf)
- 3.8.4 Elektronischer Beitrag zur thermischen Ausdehnung: Ableitung für freies Elektronengas
- Exkurs Quantengase: großkanonische Zustandssumme, großk. Potential, Druck, innere Energie, mittlere Besetzungszahl
|
| 21.12.10 |
15. Vorlesung (KondMat_2010WS_V15.pdf)
- Zustandsdichte an der Fermikante ν(εF), Fermi-Temperatur, Vergleich mit phononischem Beitrag zur spezifischen Wärme für d=1,2,3, Kompressibilität
- 3.8.5 Nichtwechselwirkende Fermionen bei tiefen Temperaturen: Sommerfeld-Entwicklung: Pauli-Prinzip, Fermi-Funktion, Fermi-Energie, chemisches Potential, Sommerfeld-Entwicklung, Sommerfeld-Koeffizienten, Komplikationen bei Tieftemperaturentwicklung bei fester Dichte/Teilchenzahl.
|
| 11.01.11 |
16. Vorlesung (KondMat_2010WS_V16.pdf)
- Kapitel 4: Elektronen im periodischen Potential
- Näherungen: starres Gitter, keine Elektron-Elektron-Wechselwirkung → Slater-Determinanten, Einteilchentheorie
- 4.1 Elektron im periodischen Potential, Bloch-Theorem: Translationsoperator, Vertauschungsregeln, Bloch-Theorem, periodische Randbedingungen, Wellenfunktion und Schrödinger-Gleichung in Impulsdarstellung
|
| 13.01.11 |
Übung (zu Aufgabenblatt 7)
- Besprechung von Aufgabe 11: Freie Elektronen in d Dimensionen und die Sommerfeld-Entwicklung
- Berechnung der Zustandsdichte für Freie Elektronen: Musterlösung kom-ws10-07_ml_ab.pdf
- Sommerfeld-Entwicklung für die Energie in 4. Ordnung in T und Anwendung auf d=2,3: Musterlösung kom-ws10-07_ml.pdf
- Numerische Berechnung von Energie und spezifischer Wärme für d=2,3:
|
| 18.01.11 |
17. Vorlesung (KondMat_2010WS_V17.pdf)
- Partielle Differentialgleichung für Bloch-Faktoren, Normierung der Wellenfunktion, Vergleich mit Phononen, Vollständigkeitsrelation
- 4.2 Näherung fast freier Elektronen: fouriertransformierte SG, reduziertes und ausgedehntes Zonenschema, Koeffizientengleichung in führender Ordnung im Gitterpotential V, quantenmechanische Brillouin-Wigner-Störungsreihe
- Für k-Vektoren ohnen Entartung: Rayleigh-Schrödinger-Störungsreihe, Korrekturen quadratisch in V; entartete Störungstheorie: lineare Aufspaltung an Entartungspunkten
- Beispiel: freie und quasi-freie Elektronen auf Quadratgitter bzw. kubischem Gitter (Czycholl, S. 105)
|
| 20.01.11 |
18. Vorlesung (KondMat_2010WS_V18.pdf) und Übung (zu Aufgabenblatt 8)
- 4.3 k·p-Störungsrechnung, effektiver Massentensor und Gruppengeschwindigkeit: Entwicklung der Dispersion um k=0 (ohne Entartung) → Tensor der (inversen) effektiven Masse, Entwicklung um k≠0
|
| 25.01.11 |
19. Vorlesung (KondMat_2010WS_V19.pdf)
- Gradient der Dispersion als Erwartungswert der Blochfunktionen und als Gruppengeschwindigkeit
- Kramers-Theorem ε(-k)=ε(k) mit Verallgemeinerung auf allgemeine Punktsymmetrien
- 4.4 Modell starker Bindung (tight-binding-Modell), Wannier-Zustände: atomarer Grenzfall, Einfluss anderer Atome als Störung, Aufspaltung atomarer Niveaus im N-Teilchen-System, atomare Wellenfunktionen als Ansatz, Ritzsches Variationsprinzip, direkter Überlapp, Potential-Matrixelement, Dreizentren-Integral, Dispersion in TB-Näherung
|
| 27.01.11 |
20. Vorlesung (KondMat_2010WS_V20.pdf) und Übung (zu Aufgabenblatt 09)
- Wannier-Funktionen als FT von Bloch-Funktionen und als ONS, Dispersionsrelationen, Hüpfmatrixelement. Beispiel: kubisches Gitter (Dispersion, effektive Masse)
|
| 01.02.11 |
21. Vorlesung (KondMat_2010WS_V21.pdf)
- Nachtrag zur Aufgabe 15 (exakte Lösungen): dispersion_Kronig_Penney.png, dispersion_Kronig_Penney2.png, dispersion_Kronig_Penney.gnu
- Wannier-Funktions-Formalismus: (i) Modell-Ansatz mit freien Parametern, (ii) als grobe Approximation, z.B. mit atomaren Wellenfunktionen, (iii) für groben Fit, z.B. mit LCAO-Methode (linear combination of atomic orbitals) (iv) numerisch
- Numerische Bandstruktur-Methoden (Überblick): Zellenmethode, Entwicklung nach ebenen Wellen, Augmented Plane Waves (mit Muffin Tin Potential), Green-Funktions-Methoden (Korringa-Kohn-Rostoker, KKR), Orthogonalized Plane Waves (OPW), Pseudopotential-Methoden. Lösen komplexes Problem: singuläres Potential, reduzierte Symmetrie.
- Bandstruktur-Methoden anwendbar auch auf wechselwirkende Elektronen im Rahmen der Dichtefunktional-Theorie (DFT).
- TB-Zustandsdichte für hyperkubisches Gitter: Fouriertransformierte ν(η) der Zustandsdichte → Bessel-Funktionen 1. Gattung J0
- Exkurs Bessel-Funktionen: Bessel-Differentialgleichung (lineare gewöhnliche DGL 2. Ordnung), Bessel-Funktionen 1. Gattung Jn(x) und 2. Gattung Yn(x), Darstellung
- Zustandsdichte der linearen Kette (d=1), Faltungsbeziehung zwischen Zustandsdichten bei separabler Dispersion
|
| 03.02.11 |
Übung und „Werbungsblock”
|
| 08.02.11 |
22. Vorlesung (KondMat_2010WS_V22.pdf)
- Legendre-Funktion, vollständiges elliptisches Integral der 1. Akt, Zustandsdichten von Quadratgitter und einfach kubischem Gitter, Hyperkubisches Gitter im Limes d→∞, 2-d-Zustandsdichte aus Faltung
- Fermi-Fläche und Perfect Nesting (Beispiele: Quadratgitter, hyperkubisches Gitter)
|
| 10.02.11 |
23. Vorlesung (KondMat_2010WS_V23.pdf)
- Kapitel 5: Elektronen im Magnetfeld
- Minimale Kopplung, magnetisches Moment, Bohr-Magneton, g-Faktor, Pauli-Matrizen
- 5.1 Pauli-Paramagnetismus: Spinbeitrag, Sommerfeld-Entwicklung, isotherme magnetische Suszeptibilität. Anwendung: freie Elektronen
|
| 15.02.11 |
24. Vorlesung (KondMat_2010WS_V24.pdf)
- 5.1 Landau-Diamagnetismus freier Elektronen: Zyklotron-Frequenz, magnetische Länge, Entartungsgrad eines Landau-Niveaus, Euler-McLaurin-Summenformel, Landau-Suszeptibilität, de-Haas-van-Alphen-Effekt
|
| 17.02.11 |
25. Vorlesung (KondMat_2010WS_V25.pdf)
- Kapitel 6: Elektron-Elektron-Wechselwirkung
- 6.1 Landau-Fermi-Flüssigkeitstheorie: Quasiteilchen, renormierte effektive Masse, endliche Lebensdauer, Phasenraum-Argument: Unterdrückung von Stoßprozessen
- 6.2 Dichtefunktionaltheorie (DFT): quantitative ab initio Theorie, Hohenberg-Kohn-Theorem (1964), Beweis nach Levy (1979), Hartree-Näherung, elektronische Korrelationen, Austausch, Thomas-Fermi-Näherung,
- Kohn-Sham-Gleichungen, Austausch-Korrelationsenergie, lokale Dichte-Näherung (LDA), Jellium-Modell, Iterationszyklus, Interpretationen der KS-Parameter als Dispersionsrelationen
|
