Prof. Dr. Nils Blümer

• Thematische Einführung:
• Vortrag Quantum Monte Carlo simulations of strongly correlated electron systems within dynamical mean-field theory (auszugsweise)
• Vortrag Flavour-selective Mott transitions of ultracold quantum gases on optical lattices (auszugsweise)

• Organisation: Vorlesungsseite, Google-Kalender, Literatur
• I.1 Statistische Eigenschaften von Zeitreihen
• Wahrscheinlichkeitsverteilungen, Autokorrelation, Varianz der Einzelmessung und Fehler des Mittelwertes bei autokorrelierten Daten: comp-sim-ws0708-v01.pdf, comp-sim-ws0708-v02.pdf
• Beispiel: gleitender Mittelwert
• Tutorial + Hausaufgabe: Datenanalyse

• Hinweise zur Hausaufgabe: Verwendung von Pfaden unter Unix/Linux, Ubuntu 8.04 LTS (Heise-Artikel)
• I.2 Metropolis-Monte-Carlo Methode
• Simple Monte-Carlo, Monte-Carlo mit Gewichtung (importance sampling)
• Skript: siehe num-meth-ss07-v03.pdf

• Besprechung Hausaufgabe Datenanalyse vom 21.04.08
• Musterlösung: comp-sim_hw2b.pdf

• Block-Analyse (blocking analysis)
• Transformation von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
• Hausaufgabe: Beweis von Box-Muller-Algorithmus (siehe z.B. boxmuller.pdf, W-T05L12.2.pdf)
• I.2 Metropolis-Monte-Carlo Methode
• Simple Monte-Carlo, Monte-Carlo mit Gewichtung (importance sampling)
• Skript: num-meth-ss08-v04.pdf

• Stochastischer Prozess, Markov-Prozess
• Markov-Ketten-Monte-Carlo, detailliertes Gleichgewicht
• Metropolis-Algorithmus (und heat-bath)
• I.3 Statistische Physik im kanonischen Ensemble
• Thermodynamische Erwartungswerte, Phasenübergänge, kritische Exponenten
• Skript: num-meth-ss08-v05.pdf

• I.4 Ising-Modell
• Motivation: Modellsystem für Methoden, aber auch für Physik: universelles Verhalten an kritischen Punkten (nicht im Skript)
• Visualisierung: applet 1, applet 2
• Skript aus WS 2007/2008: comp-sim-ws0708-v08.pdf
  • Ising model: history, hamiltonian, interpretation, and relation to more general spin models
  • Excursion: statistical physics in the canonical ensemble
  • Phase transitions, thermodynamic limit, and critical exponents
  • Boundary conditions for finite systems
  • Metropolis Monte Carlo for the Ising model
• Frustrationseffekte, z.B. auf Dreiecksgitter (für antiferromagnetische Kopplung)

• Fortsetzung Ising-Modell:
• Impossibility for importance-sampline MC to measure Z, F, or S
• Mean-field solution, solutions in d=1 and d=2
• Critical temperatures and critical exponents
• Skript: num-meth-ss08-v07.pdf
• Besprechung Templat für MC-Simulation des 2-d Ising-Modells, preview auf Übung

• I.5 Finite-size scaling, siehe Skript num-meth-ss07-v06.pdf
• Seminar-Planung: Vorstellung der Themen und Verteilung der Vorträge
• Vorschau Kapitel II -- Hamilton-Operatoren ohne bekannte Eigenbasis

• Start Kapitel II - Exakte Diagonalisierung
• II.1 Matrixdarstellung des Heisenberg-Modells: Historie Heisenberg-Modell, Grenzfälle/Verallgemeinerungen, Matrixdarstellung
• Beispiel: 2 Spins (offene Randbedingungen)
• II.2 Mathematische Exkurs: Eigenwertprobleme: Existenz von (Rechts-)Eigenvektoren, Matrix-Definitionen, Ähnlichkeitstransformationen (allgemein bzw. unitär), Sätze zu Normalformen und Diagonalisierbarkeit von Matrizen
• Nachtrag: Matrizen mit vollständiger Eigenbasis versus normale Matrizen - Vergleich anhand von Zufallsmatrizen
• II.3 Reduktion des Hilbertraums (vor ED)
• Symmetrien des Heisenberg-Modell: z-Komponente des Gesamtspins (m_z), Spin-Umkehr, Spiegelung, Translation (periodische Randbedingungen), Diagonalspiegelung (d>1)
• Skript: num-meth-ss08-v09.pdf

• ...

• II.4 Numerische Verfahren zur vollständigen Bestimmung von Eigenwerten und (optional) Eigenvektoren von symmetrischen Matrizen
• 1. Naive Strategie über charakteristisches Polynom
• (ausgelassen: 2. Vektoriteration nach von Mises und inverse Iteration nach Wielandt)
• 3. Iterative Diagonalisierung mit Jacobi-Rotationen
• Skript: num-meth-ss08-v10.pdf

• Beispiel für automatische Erzeugung und numerische Diagonalisierung von Matrizen für Heisenberg-Modell: Shell log
• Hausaufgabe: vollständige ED für Heisenberg-Modell
• Analytische Diagonalisierung des Heisenberg-Modells in m_z- und Impuls-Unterräumen für N=3, N=4
• Skript: num-meth-ss08-v11.pdf

• Besprechung Matrixerzeugung (1. Teil der laufenden Hausaufgabe)
• 4. Vollständige Tridiagonalisierung symmetrischer Matrizen nach Givens
• 5. Vollständige Tridiagonalisierung symmetrischer Matrizen mit Householder-Transformationen
• Skript (vorläufig): num-meth-ss07-v12.pdf

• Besprechung Berechnung der niedrigsten 2 Energien, Finite-size-Extrapolation (2. Teil der laufenden Hausaufgabe)
• Implementierung (pdf-Listing): ED_tridiag.c.pdf; Shell-script: make_Heis_E0_E1; Resultate: Heis_E0_E1.dat, png-Bild
• II.5 Bestimmung aller Eigenwerte und (optional) Eigenvektoren von symmetrischen Tridiagonalmatrizen
• 1. Bestimmung über charakteristisches Polynom
• 2. Iterative Diagonalisierung einer Tridiagonalmatrix mittels QR bzw. QL-Zerlegung
• Beispiel im Detail (anhand Mathematica Notebook)
• Skript (vorläufig): num-meth-ss07-v13.pdf

• II.6 Partielle Tridiagonalisierung mit dem Lanczos-Algorithmus
• Krylov-Unterräume
• Implementierung des Lanczos-Algorithmus und Anwendung auf AF Heisenberg-Spinkette: num-meth-ss07-Lanczos.pdf
• Script: num-meth-ss07-v14.pdf

• III Quanten-Monte-Carlo Simulationen
• III.1 Klassifikation von Quanten-Monte-Carlo-Methoden
• III.2 Pfadintegral-Quanten-Monte-Carlo (PIMC)
• Script: num-meth-ss07-v15.pdf, num-meth-ss07-v16.pdf

• III.3 Weltlinien-Quanten-Monte-Carlo (WL-QMC)
• Script: num-meth-ss08-v16.pdf

• Seminarvortrag: Maximum-Entropie-Methode zur analytischen Fortsetzung (Tadeus Ras)

• IV Fermionische Modelle: tight-binding Elektronen, Hubbard-Modell
• Spinlose nicht-wechselwirkende Fermionen im Orts- und Impulsraum
• Script: num-meth-ss08-v17.pdf

• Vorzeichen bei Vertauschung von Fermionen
• Konstruktion der Gesamt-Hamilton-Matrix: Produkt über Spin-Unterräume, lokale Wechselwirkung
• Hubbard-Modell

• Seminarvortrag: Weltlinien-QMC mit Loop-Updates (Benjamin Niepelt)
• ergänzendes Vorlesungsskript: comp-sim-ws0708-v23.pdf

• Seminarvortrag: Dichtematrix-Renormierungsgruppe (Andreas Pfister)

• set 1 (10, 100, 1000, 10000 numbers)
• set 2 (10, 100, 1000, 10000 numbers)
• set 3 (10, 100, 1000, 10000 numbers)
• set 4 (10, 100, 1000, 10000 numbers)
• set 5 (10, 100, 1000, 10000 numbers)
• set 6 (10, 100, 1000, 10000 numbers)
• set 7 (10, 100, 1000, 10000 numbers)
• set 8 (10, 100, 1000, 10000 numbers)
• set 9 (10, 100, 1000, 10000 numbers)
• set 10 (10, 100, 1000, 10000 numbers)

• Schreiben Sie ein Metropolis-Monte-Carlo-Programm zur Berechnung von Energie und Magnetisierung des Ising-Modells in 2 Raumdimensionen. Dabei dürfen Sie das unten verlinkte Templat benutzen.
• Berechnen Sie Mittelwerte E(T) und |M(T)| (mit Fehlerbalken) in einem sinnvollen Temperaturbereich für Gitter mit linearer Ausdehnung zwischen 4 und etwa 20-40.
• Tragen Sie die Binder-Kumulante U₄(T)=1-⟨m⁴⟩/(3⟨m²⟩²) für verschiedene Gittergrößen auf und bestimmen Sie aus dem asymptotischen Schnittpunkt die kritische Temperatur T_c.
• Optional: Bestimmen Sie die spezifische Wärme und die magnetische Suszeptibilität bei ausgewählten Temperaturen.
• Zusatzaufgabe (für Teilnehmer, die schon Computer simulations gehört haben): erweitern Sie das Programm um Übernächst-Nachbar-Wechselwirkung und vergleichen Sie ferromagnetische und antiferromagnetische Kopplungen bei gleichem Verhältnis |J´|/|J| (siehe auch [Lan85] und [Mon07]).

• Schreiben Sie ein Programm zur Erzeugung von Matrix-Darstellungen des Heisenberg-Modells (antiferromagnetisch, J=1); idealerweise erzeugt dieses Programm direkt einzelne m_z-Unterräume. Neben periodischen Randbedingungen können ggf. optional offene Randbedingungen realisiert werden. Musterlösung: siehe unten
• Erzeugen Sie damit Matrizen für Systeme mit etwa 2-10 Spins und diagonalisieren Sie diese mit dem Programm ED_jacobi (siehe unten).
• Tragen Sie E/N (bei N Spins) für den Grundzustand und den 1. angeregten Zustand geeignet auf und versuchen Sie, den thermodynamischen Limes abzuschätzen.
• Für Musterlösung benutztes Fitprogramm: polyfit

Zuletzt geändert: 01-Oct-13