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Moderne numerische Methoden der Festkörperphysik

Vorlesung im Sommersemester 2008
N. Blümer

Modern numerical methods in solid state physics

Lecture in summer semester 2008
N. Blümer

Stundenzahl: 3 V + 1 Ü

Zeit und Ort: Mi+Fr 8³⁰-10⁰⁰ Uhr im Minkowski-Raum (Staudingerweg 7, 05-119) sowie Ausweichtermine (vorzugsweise Mo 17⁰⁰-18³⁰ im Galilei-Raum, siehe unten) 1. Termin: 18.04.07

Zielgruppe: Studierende im Hauptstudium, Doktoranden

Univis-Eintrag: siehe Liste der Lehrveranstaltungen von N. Blümer im SS 2008

Sprechstunde: nach der Vorlesung und nach Vereinbarung Lecture hours: 3 V + 1 Ü (lectures + tutorials)

Time and Place: Wednesdays and Fridays 8³⁰-10⁰⁰ in Minkowski room (Staudingerweg 7, 05-119), sometimes Mondays (see below)

Target group: physics students after Vordiplom, PhD students

Univis entry: see list of lectures by N. Blümer in SS 2008

Consultation hours: after lectures or by appointment

Termine

Inhalt / Notizen zur Vorlesung

16.04.08	Terminbesprechung, Fragebögen
18.04.08	1. Vorlesung Thematische Einführung: Vortrag Quantum Monte Carlo simulations of strongly correlated electron systems within dynamical mean-field theory (auszugsweise) Vortrag Flavour-selective Mott transitions of ultracold quantum gases on optical lattices (auszugsweise)
21.04.08	2. Vorlesung Organisation: Vorlesungsseite, Google-Kalender, Literatur I.1 Statistische Eigenschaften von Zeitreihen Wahrscheinlichkeitsverteilungen, Autokorrelation, Varianz der Einzelmessung und Fehler des Mittelwertes bei autokorrelierten Daten: comp-sim-ws0708-v01.pdf, comp-sim-ws0708-v02.pdf Beispiel: gleitender Mittelwert Tutorial + Hausaufgabe: Datenanalyse
25.04.08	3. Vorlesung Hinweise zur Hausaufgabe: Verwendung von Pfaden unter Unix/Linux, Ubuntu 8.04 LTS (Heise-Artikel) I.2 Metropolis-Monte-Carlo Methode Simple Monte-Carlo, Monte-Carlo mit Gewichtung (importance sampling) Skript: siehe num-meth-ss07-v03.pdf
28.04.08	Übung Besprechung Hausaufgabe Datenanalyse vom 21.04.08 Musterlösung: comp-sim_hw2b.pdf
30.04.08	4. Vorlesung Block-Analyse (blocking analysis) Transformation von Wahrscheinlichkeitsverteilungen Hausaufgabe: Beweis von Box-Muller-Algorithmus (siehe z.B. boxmuller.pdf, W-T05L12.2.pdf) I.2 Metropolis-Monte-Carlo Methode Simple Monte-Carlo, Monte-Carlo mit Gewichtung (importance sampling) Skript: num-meth-ss08-v04.pdf
05.05.08	5. Vorlesung Stochastischer Prozess, Markov-Prozess Markov-Ketten-Monte-Carlo, detailliertes Gleichgewicht Metropolis-Algorithmus (und heat-bath) I.3 Statistische Physik im kanonischen Ensemble Thermodynamische Erwartungswerte, Phasenübergänge, kritische Exponenten Skript: num-meth-ss08-v05.pdf
07.05.08	6. Vorlesung I.4 Ising-Modell Motivation: Modellsystem für Methoden, aber auch für Physik: universelles Verhalten an kritischen Punkten (nicht im Skript) Visualisierung: applet 1, applet 2 Skript aus WS 2007/2008: comp-sim-ws0708-v08.pdf Ising model: history, hamiltonian, interpretation, and relation to more general spin models Excursion: statistical physics in the canonical ensemble Phase transitions, thermodynamic limit, and critical exponents Boundary conditions for finite systems Metropolis Monte Carlo for the Ising model Frustrationseffekte, z.B. auf Dreiecksgitter (für antiferromagnetische Kopplung)
09.05.08	7. Vorlesung Fortsetzung Ising-Modell: Impossibility for importance-sampline MC to measure Z, F, or S Mean-field solution, solutions in d=1 and d=2 Critical temperatures and critical exponents Skript: num-meth-ss08-v07.pdf Besprechung Templat für MC-Simulation des 2-d Ising-Modells, preview auf Übung
14.05.08	8. Vorlesung I.5 Finite-size scaling, siehe Skript num-meth-ss07-v06.pdf Seminar-Planung: Vorstellung der Themen und Verteilung der Vorträge Vorschau Kapitel II -- Hamilton-Operatoren ohne bekannte Eigenbasis
16.05.08	9. Vorlesung Start Kapitel II - Exakte Diagonalisierung II.1 Matrixdarstellung des Heisenberg-Modells: Historie Heisenberg-Modell, Grenzfälle/Verallgemeinerungen, Matrixdarstellung Beispiel: 2 Spins (offene Randbedingungen) II.2 Mathematische Exkurs: Eigenwertprobleme: Existenz von (Rechts-)Eigenvektoren, Matrix-Definitionen, Ähnlichkeitstransformationen (allgemein bzw. unitär), Sätze zu Normalformen und Diagonalisierbarkeit von Matrizen Nachtrag: Matrizen mit vollständiger Eigenbasis versus normale Matrizen - Vergleich anhand von Zufallsmatrizen II.3 Reduktion des Hilbertraums (vor ED) Symmetrien des Heisenberg-Modell: z-Komponente des Gesamtspins (m_z), Spin-Umkehr, Spiegelung, Translation (periodische Randbedingungen), Diagonalspiegelung (d>1) Skript: num-meth-ss08-v09.pdf
21.05.08	Übung ...
30.05.08	10. Vorlesung II.4 Numerische Verfahren zur vollständigen Bestimmung von Eigenwerten und (optional) Eigenvektoren von symmetrischen Matrizen 1. Naive Strategie über charakteristisches Polynom (ausgelassen: 2. Vektoriteration nach von Mises und inverse Iteration nach Wielandt) 3. Iterative Diagonalisierung mit Jacobi-Rotationen Skript: num-meth-ss08-v10.pdf
02.06.08	11. Vorlesung Beispiel für automatische Erzeugung und numerische Diagonalisierung von Matrizen für Heisenberg-Modell: Shell log Hausaufgabe: vollständige ED für Heisenberg-Modell Analytische Diagonalisierung des Heisenberg-Modells in m_z- und Impuls-Unterräumen für N=3, N=4 Skript: num-meth-ss08-v11.pdf
09.06.08	Übung / 12. Vorlesung Besprechung Matrixerzeugung (1. Teil der laufenden Hausaufgabe) 4. Vollständige Tridiagonalisierung symmetrischer Matrizen nach Givens 5. Vollständige Tridiagonalisierung symmetrischer Matrizen mit Householder-Transformationen Skript (vorläufig): num-meth-ss07-v12.pdf
11.06.08	Übung / 13. Vorlesung Besprechung Berechnung der niedrigsten 2 Energien, Finite-size-Extrapolation (2. Teil der laufenden Hausaufgabe) Implementierung (pdf-Listing): ED_tridiag.c.pdf; Shell-script: make_Heis_E0_E1; Resultate: Heis_E0_E1.dat, png-Bild II.5 Bestimmung aller Eigenwerte und (optional) Eigenvektoren von symmetrischen Tridiagonalmatrizen 1. Bestimmung über charakteristisches Polynom 2. Iterative Diagonalisierung einer Tridiagonalmatrix mittels QR bzw. QL-Zerlegung Beispiel im Detail (anhand Mathematica Notebook) Skript (vorläufig): num-meth-ss07-v13.pdf
16.06.08	14. Vorlesung II.6 Partielle Tridiagonalisierung mit dem Lanczos-Algorithmus Krylov-Unterräume Implementierung des Lanczos-Algorithmus und Anwendung auf AF Heisenberg-Spinkette: num-meth-ss07-Lanczos.pdf Script: num-meth-ss07-v14.pdf
18.06.08	15. Vorlesung III Quanten-Monte-Carlo Simulationen III.1 Klassifikation von Quanten-Monte-Carlo-Methoden III.2 Pfadintegral-Quanten-Monte-Carlo (PIMC) Script: num-meth-ss07-v15.pdf, num-meth-ss07-v16.pdf
25.06.08	16. Vorlesung III.3 Weltlinien-Quanten-Monte-Carlo (WL-QMC) Script: num-meth-ss08-v16.pdf
27.06.08	Seminar Seminarvortrag: Maximum-Entropie-Methode zur analytischen Fortsetzung (Tadeus Ras)
02.07.08	17. Vorlesung IV Fermionische Modelle: tight-binding Elektronen, Hubbard-Modell Spinlose nicht-wechselwirkende Fermionen im Orts- und Impulsraum Script: num-meth-ss08-v17.pdf
04.07.08	18. Vorlesung Vorzeichen bei Vertauschung von Fermionen Konstruktion der Gesamt-Hamilton-Matrix: Produkt über Spin-Unterräume, lokale Wechselwirkung Hubbard-Modell
09.07.08	Seminar Seminarvortrag: Weltlinien-QMC mit Loop-Updates (Benjamin Niepelt) ergänzendes Vorlesungsskript: comp-sim-ws0708-v23.pdf
09.07.08	Seminar Seminarvortrag: Dichtematrix-Renormierungsgruppe (Andreas Pfister)

Aufgabenblätter / Beispiele / Computerprogramme

21.04.08	Datenanalyse: Vervollständigen Sie das Programm stats_template.c und analysieren Sie eine Auswahl der folgenden Beispieldaten set 1 (10, 100, 1000, 10000 numbers) set 2 (10, 100, 1000, 10000 numbers) set 3 (10, 100, 1000, 10000 numbers) set 4 (10, 100, 1000, 10000 numbers) set 5 (10, 100, 1000, 10000 numbers) set 6 (10, 100, 1000, 10000 numbers) set 7 (10, 100, 1000, 10000 numbers) set 8 (10, 100, 1000, 10000 numbers) set 9 (10, 100, 1000, 10000 numbers) set 10 (10, 100, 1000, 10000 numbers) Tutorial: comp-sim_hw2b_pre.pdf; Auswahl von gnuplot-Sourcefiles: stats_set1_trace.gnu, stats_set1_hist_corr.gnu, stats_set4_hist_corr.gnu Musterlösung: comp-sim_hw2b.pdf
09.05.08	Monte-Carlo-Simulation (Abgabe-/Besprechungstermin: 21.05.2007) Schreiben Sie ein Metropolis-Monte-Carlo-Programm zur Berechnung von Energie und Magnetisierung des Ising-Modells in 2 Raumdimensionen. Dabei dürfen Sie das unten verlinkte Templat benutzen. Berechnen Sie Mittelwerte E(T) und \|M(T)\| (mit Fehlerbalken) in einem sinnvollen Temperaturbereich für Gitter mit linearer Ausdehnung zwischen 4 und etwa 20-40. Tragen Sie die Binder-Kumulante U₄(T)=1-⟨m⁴⟩/(3⟨m²⟩²) für verschiedene Gittergrößen auf und bestimmen Sie aus dem asymptotischen Schnittpunkt die kritische Temperatur T_c. Optional: Bestimmen Sie die spezifische Wärme und die magnetische Suszeptibilität bei ausgewählten Temperaturen. Zusatzaufgabe (für Teilnehmer, die schon Computer simulations gehört haben): erweitern Sie das Programm um Übernächst-Nachbar-Wechselwirkung und vergleichen Sie ferromagnetische und antiferromagnetische Kopplungen bei gleichem Verhältnis \|J´\|/\|J\| (siehe auch [Lan85] und [Mon07]).
02.06.08	Exakte Diagonalisierung mit Jacobi-Rotationen (Abgabe-/Besprechungstermin: 09.+11.06.2007) Schreiben Sie ein Programm zur Erzeugung von Matrix-Darstellungen des Heisenberg-Modells (antiferromagnetisch, J=1); idealerweise erzeugt dieses Programm direkt einzelne m_z-Unterräume. Neben periodischen Randbedingungen können ggf. optional offene Randbedingungen realisiert werden. Musterlösung: siehe unten Erzeugen Sie damit Matrizen für Systeme mit etwa 2-10 Spins und diagonalisieren Sie diese mit dem Programm ED_jacobi (siehe unten). Tragen Sie E/N (bei N Spins) für den Grundzustand und den 1. angeregten Zustand geeignet auf und versuchen Sie, den thermodynamischen Limes abzuschätzen. Für Musterlösung benutztes Fitprogramm: polyfit

Seminarthemen

Dichtefunktionaltheorie (DFT) und lokale Dichtenäherung (LDA): Rosa Glöckner (Mitte Juni)
- Literatur: [Thi07] Kap. 5, [Mar04], [Blu03] Kap. 5.3, [Hel06]
Analytische Fortsetzung; Maximum-Entropie-Methode: Tadeus Ras (Juni)
- Literatur: [Blu03] Kap 1.4 + 3.8, [Ski84], [Bry90], [Gub91], [Vid77]
Dichtematrix-Renormierungsgruppe (DMRG), z.B. für 1-d Heisenberg-Modell: Andreas Pfister, Christoph Scherer
- Literatur: [Thi07] Kap. 11.7, [Sch05], [Noa05]
- Code: ALPS download, ALPS DMRG tutorial
WL-QMC mit Loop Updates bzw. für Fermionen (tJ-Modell, Hubbard-Modell): Benjamin Niepelt
- Literatur: [Sca98], [Mur98]
- Code: ALPS download, ALPS WL-QMC tutorial

Reserve-Themen

Numerische Renormierungsgruppe (NRG)
- Literatur: [Bul08], [Hof00]
- Code (benutzt Mathematica Frontend): NRG Ljubljana
DMFT + HF-QMC
- Literatur: [Geo96], [Blu03]

Tutorials, Beispielprogramme und Tools

Linux-Hilfe: Befehlsreferenz Uni Münster
Kommandozeilen-Zeichenprogramm: gnuplot
Zeilenorientierte Programmiersprache: AWK
GNU Software unter Windows: Cygwin
ALPS - Algorithms and Libraries for Physics Simulations
Statistische Auswertung einer Zeitreihe (unter Berücksichtigung der Autokorrelation; Steuerung über Kommandozeile: -h für Hilfe): .shtml">stats_template.c (highlighted html), stats_template.c, stats_v1_4.c (highlighted html), stats_v1_4.c; Windows package (mit cygwin1.dll): stats_windows.zip.
Einfacher Zufallszahlengenerator: random_nums_v4.c (highlighted html), random_nums_v4.c
MC-Simulation für das 2D Ising-Modell (Templat): mc_Ising_2D_template2a.c (highlighted html), mc_Ising_2D_template2a.c
Code zur exakten Diagonalisierung von (möglicherweise) dichten Matrizen with Jacobi rotations: ED_jacobi.c, benutzt pointer_utils.c.
Code zur Erzeugung der Matrixdarstellung des 1-dimensionalen Heisenberg-Modells, jeweils für vorgegebenen s_z-Unterraum: NumMeth/gen_matrix4ED.c, benutzt pointer_utils.c.
Code für polynomiale Least-squares-fits: polyfit7.c (vorerst nur zur Illustration, verweist auf nicht-freie Module, also nicht kompilierbar!)
Code zur iterativen Diagonalisierung von symmetrischen Tridiagonalmatrizen mit QR-Updates: ED_tridiag.c

Literatur

Allgemeine Lehrbücher

[Thi07]	J. M. Thijssen: Computational Physics, Cambridge (2007), 76 EUR [Kapitel 1, (4), 5, (6), 7, 10, (11), 12, 15, (16)], Korrekturen/Programme
[Gou96]	Harvey Gould, Jan Tobochnik An Introduction to Computer Simulation Methods, Addison-Wesley (1996) [Kapitel 11, 17, 18; benutzt True BASIC]; auch in 3. Auflage mit Wolfgang Christian, Benjamin Cummings (2006): 55 EUR
[Pan06]	Tao Pang, An Introduction to Computational Physics, Cambridge (2006), 55 EUR
[All87]	Allen, Tildesley, Computer Simulation of Liquids, Oxford Science Publications (1987), 56 EUR
[Koo98]	Koonin, Meredith, Computational Physics, Fortran Version, Addison-Wesley (1990), Taschenbuch (Perseus, 1998): 49 EUR
[Lan05]	D. P. Landau, K. Binder, A Guide to Monte Carlo Simulations in Statistical Physics, Cambridge University Press, 2005 (eBook, Hardback)

Algorithmen, Programmierung

[Pres07]	William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery, Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, Cambridge (2007), 61 EUR [Second Edition hier online verfügbar]
[Ker88]	Brian W. Kernighan, Dennis Ritchie, The C Programming Language, Prentice Hall (1988), 31 EUR

Spezielle Themen, Doktorarbeiten

[Mar04]	Richard M. Martin, Electronic Structure: Basic Theory and Practical Methods: Basic Theory and Practical Density Functional Approaches Vol 1, Cambridge (2004), 70 EUR
[Blu03]	Nils Blümer, Mott-Hubbard Metal-Insulator Transition and Optical Conductivity in High Dimensions, Dissertation, Universität Augsburg (2002); Shaker Verlag, Aachen (2003); online verfügbar [Einführung: Hubbard-Modell, DMFT, HF-QMC, Mott-Übergang, ...]
[Hof00]	Walter Hofstetter, Renormalization Group Methods for Quantum Impurity Systems, Dissertation, Universität Augsburg (2000); Shaker Verlag, Aachen (2000); online verfügbar

Übersichtsartikel in Zeitschriften / Konferenzbänden

[Geo96]	Antoine Georges, Gabriel Kotliar, Werner Krauth, Marcelo J. Rozenberg, Dynamical mean-field theory of strongly correlated fermion systems and the limit of infinite dimensions, Rev. Mod. Phys. 68, 13 - 125 (1996)
[Bul08]	Ralf Bulla, Theo A. Costi, Thomas Pruschke, Numerical renormalization group method for quantum impurity systems, Rev. Mod. Phys. 80, 395 (2008)
[Sch05]	U. Schollwöck, The density-matrix renormalization group, Rev. Mod. Phys. 77, 259 (2005)
[Cep95]	D. M. Ceperley, Path integrals in the theory of condensed helium, Rev. Mod. Phys. 67, 279 - 355 (1995).
[Noa05]	R. Noack, S. Manmana, Diagonalization- and Numerical Renormalization-Group-Based Methods for Interacting Quantum Systems, preprint cond-mat/0510321
[Sca98]	Richard Scalettar, Quantum Monte Carlo for Lattice bosons, lecture notes of NATO Advanced Study Institute: Quantum Monte Carlo Methods in Physics and Chemistry, Cornell University, 1998
[Mur98]	Alejandro Muramatsu, Quantum Monte Carlo for lattice fermions lecture notes of NATO Advanced Study Institute: Quantum Monte Carlo Methods in Physics and Chemistry, Cornell University, 1998
[Hel06]	K. Held, I.A. Nekrasov, G. Keller, V. Eyert, N. Blümer, A.K. McMahan, R.T. Scalettar, Th. Pruschke, V.I. Anisimov, and D. Vollhardt, Realistic investigations of correlated electron systems with LDA+DMFT, phys. stat. sol. (b) 243, 2599 (2006) [Psi-k Newsletter #56, p. 65-103 (April 2003)].

Originalarbeiten

[Lan85]	D. P. Landau, K. Binder, Phase diagrams and critical behavior of Ising square lattices with nearest-, next-nearest-, and third-nearest-neighbor couplings, Phys. Rev. B 31, 5946 - 5953 (1985)
[Mon07]	James L. Monroe, Seung-Yeon Kim, Phase diagram and critical exponent nu for the nearest-neighbor and next-nearest-neighbor interaction Ising model, Phys. Rev. E 76, 021123 (2007)
[Gub91]	J. E. Gubernatis, Mark Jarrell, R. N. Silver and D. S. Sivia, Quantum Monte Carlo simulations and maximum entropy: Dynamics from imaginary-time data, Phys. Rev. B 44, 6011 - 6029 (1991)
[Vid77]	H. J. Vidberg and J. W. Serene, Solving the Eliashberg equations by means of N-point Padé approximants, JLTP 29, 179 (1977)
[Ski84]	J. Skilling, R. K. Bryan, Maximum Entropy Image Reconstruction - General Algorithm, Mon. Not. R. astr. Soc. 211, 111 (1984)
[Bry90]	R. K. Bryan, Maximum entropy analysis of oversampled data problems, Eur. Biophys. J. 18, 165 (1990)

Ankündigung / Planung

Geplanter Inhalt:
- Wdh: Datenanalyse
- Ising-Modell mit Wechselwirkung zwischen nächsten und übernächsten Nachbarn
- Heisenberg-Modell, t-J-Modell, Hubbard-Modell
- exakte Diagonalisierung (ED), Quanten-Monte-Carlo-Simulationen (QMC), ggf. Numerische Renormierungsgruppe (NRG), ggf. Dichtematrix-Renormierungsgruppe (DMRG)
- ggf. Grundlagen der Dichtefunktionaltherie (DFT) inklusive lokaler Dichte-Näherung (LDA)
- Dynamische Molekularfeld-Theorie (DMFT)
- Lösungsverfahren für DMFT, insbesondere Hirsch-Fye QMC
Geplante Form:
- Vorlesung (meist an der Tafel, teilweise mit Beamer)
- Übungen (etwa alle 14 Tage: Programmierung und/oder forschungsnahe Anwendung/Auswertung)
- Seminarvorträge (während und am Ende des Semesters)