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Prof. Dr. Nils Blümer |

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Modern numerical methods in solid state physics
Lecture in summer semester 2008
N. Blümer
Lecture hours: 3 V + 1 Ü (lectures + tutorials)
Time and Place: Wednesdays and Fridays 830-1000 in Minkowski room (Staudingerweg 7, 05-119), sometimes Mondays (see below)
Target group: physics students after Vordiplom, PhD students
Univis entry: see list of lectures by N. Blümer in SS 2008
Consultation hours: after lectures or by appointment
Termine
Inhalt / Notizen zur Vorlesung
16.04.08 | Terminbesprechung, Fragebögen
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18.04.08 |
1. Vorlesung
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21.04.08 |
2. Vorlesung
- Organisation: Vorlesungsseite, Google-Kalender, Literatur
- I.1 Statistische Eigenschaften von Zeitreihen
- Wahrscheinlichkeitsverteilungen, Autokorrelation, Varianz der Einzelmessung und Fehler des Mittelwertes bei autokorrelierten Daten: comp-sim-ws0708-v01.pdf, comp-sim-ws0708-v02.pdf
- Beispiel: gleitender Mittelwert
- Tutorial + Hausaufgabe: Datenanalyse
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25.04.08 |
3. Vorlesung
- Hinweise zur Hausaufgabe: Verwendung von Pfaden unter Unix/Linux, Ubuntu 8.04 LTS (Heise-Artikel)
- I.2 Metropolis-Monte-Carlo Methode
- Simple Monte-Carlo, Monte-Carlo mit Gewichtung (importance sampling)
- Skript: siehe num-meth-ss07-v03.pdf
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28.04.08 |
Übung
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30.04.08 |
4. Vorlesung
- Block-Analyse (blocking analysis)
- Transformation von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
- Hausaufgabe: Beweis von Box-Muller-Algorithmus (siehe z.B. boxmuller.pdf, W-T05L12.2.pdf)
- I.2 Metropolis-Monte-Carlo Methode
- Simple Monte-Carlo, Monte-Carlo mit Gewichtung (importance sampling)
- Skript: num-meth-ss08-v04.pdf
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05.05.08 |
5. Vorlesung
- Stochastischer Prozess, Markov-Prozess
- Markov-Ketten-Monte-Carlo, detailliertes Gleichgewicht
- Metropolis-Algorithmus (und heat-bath)
- I.3 Statistische Physik im kanonischen Ensemble
- Thermodynamische Erwartungswerte, Phasenübergänge, kritische Exponenten
- Skript: num-meth-ss08-v05.pdf
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07.05.08 |
6. Vorlesung
- I.4 Ising-Modell
- Motivation: Modellsystem für Methoden, aber auch für Physik: universelles Verhalten an kritischen Punkten (nicht im Skript)
- Visualisierung: applet 1, applet 2
- Skript aus WS 2007/2008: comp-sim-ws0708-v08.pdf
- Ising model: history, hamiltonian, interpretation, and relation to more general spin models
- Excursion: statistical physics in the canonical ensemble
- Phase transitions, thermodynamic limit, and critical exponents
- Boundary conditions for finite systems
- Metropolis Monte Carlo for the Ising model
- Frustrationseffekte, z.B. auf Dreiecksgitter (für antiferromagnetische Kopplung)
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09.05.08 |
7. Vorlesung
- Fortsetzung Ising-Modell:
- Impossibility for importance-sampline MC to measure Z, F, or S
- Mean-field solution, solutions in d=1 and d=2
- Critical temperatures and critical exponents
- Skript: num-meth-ss08-v07.pdf
- Besprechung Templat für MC-Simulation des 2-d Ising-Modells, preview auf Übung
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14.05.08 |
8. Vorlesung
- I.5 Finite-size scaling, siehe Skript num-meth-ss07-v06.pdf
- Seminar-Planung: Vorstellung der Themen und Verteilung der Vorträge
- Vorschau Kapitel II -- Hamilton-Operatoren ohne bekannte Eigenbasis
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16.05.08 |
9. Vorlesung
- Start Kapitel II - Exakte Diagonalisierung
- II.1 Matrixdarstellung des Heisenberg-Modells: Historie Heisenberg-Modell, Grenzfälle/Verallgemeinerungen, Matrixdarstellung
- Beispiel: 2 Spins (offene Randbedingungen)
- II.2 Mathematische Exkurs: Eigenwertprobleme: Existenz von (Rechts-)Eigenvektoren, Matrix-Definitionen, Ähnlichkeitstransformationen (allgemein bzw. unitär), Sätze zu Normalformen und Diagonalisierbarkeit von Matrizen
- Nachtrag: Matrizen mit vollständiger Eigenbasis versus normale Matrizen - Vergleich anhand von Zufallsmatrizen
- II.3 Reduktion des Hilbertraums (vor ED)
- Symmetrien des Heisenberg-Modell: z-Komponente des Gesamtspins (mz), Spin-Umkehr, Spiegelung, Translation (periodische Randbedingungen), Diagonalspiegelung (d>1)
- Skript: num-meth-ss08-v09.pdf
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21.05.08 |
Übung
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30.05.08 |
10. Vorlesung
- II.4 Numerische Verfahren zur vollständigen Bestimmung von Eigenwerten und (optional) Eigenvektoren von symmetrischen Matrizen
- 1. Naive Strategie über charakteristisches Polynom
- (ausgelassen: 2. Vektoriteration nach von Mises und inverse Iteration nach Wielandt)
- 3. Iterative Diagonalisierung mit Jacobi-Rotationen
- Skript: num-meth-ss08-v10.pdf
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02.06.08 |
11. Vorlesung
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09.06.08 |
Übung / 12. Vorlesung
- Besprechung Matrixerzeugung (1. Teil der laufenden Hausaufgabe)
- 4. Vollständige Tridiagonalisierung symmetrischer Matrizen nach Givens
- 5. Vollständige Tridiagonalisierung symmetrischer Matrizen mit Householder-Transformationen
- Skript (vorläufig): num-meth-ss07-v12.pdf
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11.06.08 |
Übung / 13. Vorlesung
- Besprechung Berechnung der niedrigsten 2 Energien, Finite-size-Extrapolation (2. Teil der laufenden Hausaufgabe)
- Implementierung (pdf-Listing): ED_tridiag.c.pdf; Shell-script: make_Heis_E0_E1; Resultate: Heis_E0_E1.dat, png-Bild
- II.5 Bestimmung aller Eigenwerte und (optional) Eigenvektoren von symmetrischen Tridiagonalmatrizen
- 1. Bestimmung über charakteristisches Polynom
- 2. Iterative Diagonalisierung einer Tridiagonalmatrix mittels QR bzw. QL-Zerlegung
- Beispiel im Detail (anhand Mathematica Notebook)
- Skript (vorläufig): num-meth-ss07-v13.pdf
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16.06.08 |
14. Vorlesung
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18.06.08 |
15. Vorlesung
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25.06.08 |
16. Vorlesung
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27.06.08 |
Seminar
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02.07.08 |
17. Vorlesung
- IV Fermionische Modelle: tight-binding Elektronen, Hubbard-Modell
- Spinlose nicht-wechselwirkende Fermionen im Orts- und Impulsraum
- Script: num-meth-ss08-v17.pdf
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04.07.08 |
18. Vorlesung
- Vorzeichen bei Vertauschung von Fermionen
- Konstruktion der Gesamt-Hamilton-Matrix: Produkt über Spin-Unterräume, lokale Wechselwirkung
- Hubbard-Modell
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09.07.08 |
Seminar
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09.07.08 |
Seminar
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Aufgabenblätter / Beispiele / Computerprogramme
21.04.08 | Datenanalyse: Vervollständigen Sie das Programm stats_template.c und analysieren Sie eine Auswahl der folgenden Beispieldaten
- set 1 (10, 100, 1000, 10000 numbers)
- set 2 (10, 100, 1000, 10000 numbers)
- set 3 (10, 100, 1000, 10000 numbers)
- set 4 (10, 100, 1000, 10000 numbers)
- set 5 (10, 100, 1000, 10000 numbers)
- set 6 (10, 100, 1000, 10000 numbers)
- set 7 (10, 100, 1000, 10000 numbers)
- set 8 (10, 100, 1000, 10000 numbers)
- set 9 (10, 100, 1000, 10000 numbers)
- set 10 (10, 100, 1000, 10000 numbers)
Tutorial: comp-sim_hw2b_pre.pdf; Auswahl von gnuplot-Sourcefiles: stats_set1_trace.gnu, stats_set1_hist_corr.gnu, stats_set4_hist_corr.gnu
Musterlösung: comp-sim_hw2b.pdf
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09.05.08 | Monte-Carlo-Simulation (Abgabe-/Besprechungstermin: 21.05.2007)
- Schreiben Sie ein Metropolis-Monte-Carlo-Programm zur Berechnung von Energie und Magnetisierung des Ising-Modells in 2 Raumdimensionen. Dabei dürfen Sie das unten verlinkte Templat benutzen.
- Berechnen Sie Mittelwerte E(T) und |M(T)| (mit Fehlerbalken) in einem sinnvollen Temperaturbereich für Gitter mit linearer Ausdehnung zwischen 4 und etwa 20-40.
- Tragen Sie die Binder-Kumulante U4(T)=1-〈m4〉/(3〈m2〉2) für verschiedene Gittergrößen auf und bestimmen Sie aus dem asymptotischen Schnittpunkt die kritische Temperatur Tc.
- Optional: Bestimmen Sie die spezifische Wärme und die magnetische Suszeptibilität bei ausgewählten Temperaturen.
- Zusatzaufgabe (für Teilnehmer, die schon Computer simulations gehört haben): erweitern Sie das Programm um Übernächst-Nachbar-Wechselwirkung und vergleichen Sie ferromagnetische und antiferromagnetische Kopplungen bei gleichem Verhältnis |J´|/|J| (siehe auch [Lan85] und [Mon07]).
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02.06.08 | Exakte Diagonalisierung mit Jacobi-Rotationen (Abgabe-/Besprechungstermin: 09.+11.06.2007)
- Schreiben Sie ein Programm zur Erzeugung von Matrix-Darstellungen des Heisenberg-Modells (antiferromagnetisch, J=1); idealerweise erzeugt dieses Programm direkt einzelne mz-Unterräume. Neben periodischen Randbedingungen können ggf. optional offene Randbedingungen realisiert werden. Musterlösung: siehe unten
- Erzeugen Sie damit Matrizen für Systeme mit etwa 2-10 Spins und diagonalisieren Sie diese mit dem Programm ED_jacobi (siehe unten).
- Tragen Sie E/N (bei N Spins) für den Grundzustand und den 1. angeregten Zustand geeignet auf und versuchen Sie, den thermodynamischen Limes abzuschätzen.
- Für Musterlösung benutztes Fitprogramm: polyfit
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- Dichtefunktionaltheorie (DFT) und lokale Dichtenäherung (LDA): Rosa Glöckner (Mitte Juni)
- Analytische Fortsetzung; Maximum-Entropie-Methode: Tadeus Ras (Juni)
- Dichtematrix-Renormierungsgruppe (DMRG), z.B. für 1-d Heisenberg-Modell: Andreas Pfister, Christoph Scherer
- WL-QMC mit Loop Updates bzw. für Fermionen (tJ-Modell, Hubbard-Modell): Benjamin Niepelt
Reserve-Themen
- Numerische Renormierungsgruppe (NRG)
- DMFT + HF-QMC
Tutorials, Beispielprogramme und Tools
- Linux-Hilfe: Befehlsreferenz Uni Münster
- Kommandozeilen-Zeichenprogramm: gnuplot
- Zeilenorientierte Programmiersprache: AWK
- GNU Software unter Windows: Cygwin
- ALPS - Algorithms and Libraries for Physics Simulations
- Statistische Auswertung einer Zeitreihe (unter Berücksichtigung der Autokorrelation; Steuerung über Kommandozeile: -h für Hilfe): stats_template.c (highlighted html), stats_template.c, stats_v1_4.c (highlighted html), stats_v1_4.c; Windows package (mit cygwin1.dll): stats_windows.zip.
- Einfacher Zufallszahlengenerator: random_nums_v4.c (highlighted html), random_nums_v4.c
- MC-Simulation für das 2D Ising-Modell (Templat): mc_Ising_2D_template2a.c (highlighted html), mc_Ising_2D_template2a.c
- Code zur exakten Diagonalisierung von (möglicherweise) dichten Matrizen with Jacobi rotations: ED_jacobi.c, benutzt pointer_utils.c.
- Code zur Erzeugung der Matrixdarstellung des 1-dimensionalen Heisenberg-Modells, jeweils für vorgegebenen sz-Unterraum: NumMeth/gen_matrix4ED.c, benutzt pointer_utils.c.
- Code für polynomiale Least-squares-fits: polyfit7.c (vorerst nur zur Illustration, verweist auf nicht-freie Module, also nicht kompilierbar!)
- Code zur iterativen Diagonalisierung von symmetrischen Tridiagonalmatrizen mit QR-Updates: ED_tridiag.c
Literatur
Allgemeine Lehrbücher
[Thi07] | J. M. Thijssen: Computational Physics, Cambridge (2007), 76 EUR [Kapitel 1, (4), 5, (6), 7, 10, (11), 12, 15, (16)], Korrekturen/Programme
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[Gou96] |
Harvey Gould, Jan Tobochnik An Introduction to Computer Simulation Methods, Addison-Wesley (1996) [Kapitel 11, 17, 18; benutzt True BASIC]; auch in 3. Auflage mit Wolfgang Christian, Benjamin Cummings (2006): 55 EUR |
[Pan06] |
Tao Pang, An Introduction to Computational Physics, Cambridge (2006), 55 EUR
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[All87] |
Allen, Tildesley, Computer Simulation of Liquids, Oxford Science Publications (1987), 56 EUR
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[Koo98] |
Koonin, Meredith, Computational Physics, Fortran Version, Addison-Wesley (1990), Taschenbuch (Perseus, 1998): 49 EUR
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[Lan05] |
D. P. Landau, K. Binder, A Guide to Monte Carlo Simulations in Statistical Physics, Cambridge University Press, 2005 (eBook, Hardback)
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Algorithmen, Programmierung
[Pres07] |
William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery, Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, Cambridge (2007), 61 EUR [Second Edition hier online verfügbar]
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[Ker88] |
Brian W. Kernighan, Dennis Ritchie, The C Programming Language, Prentice Hall (1988), 31 EUR
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Spezielle Themen, Doktorarbeiten
[Mar04] |
Richard M. Martin, Electronic Structure: Basic Theory and Practical Methods: Basic Theory and Practical Density Functional Approaches Vol 1, Cambridge (2004), 70 EUR
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[Blu03] |
Nils Blümer, Mott-Hubbard Metal-Insulator Transition and Optical Conductivity in High Dimensions, Dissertation, Universität Augsburg (2002); Shaker Verlag, Aachen (2003); online verfügbar [Einführung: Hubbard-Modell, DMFT, HF-QMC, Mott-Übergang, ...]
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[Hof00] |
Walter Hofstetter, Renormalization Group Methods for Quantum Impurity Systems, Dissertation, Universität Augsburg (2000); Shaker Verlag, Aachen (2000); online verfügbar
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Übersichtsartikel in Zeitschriften / Konferenzbänden
[Geo96] |
Antoine Georges, Gabriel Kotliar, Werner Krauth, Marcelo J. Rozenberg, Dynamical mean-field theory of strongly correlated fermion systems and the limit of infinite dimensions, Rev. Mod. Phys. 68, 13 - 125 (1996)
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[Bul08] |
Ralf Bulla, Theo A. Costi, Thomas Pruschke, Numerical renormalization group method for quantum impurity systems, Rev. Mod. Phys. 80, 395 (2008)
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[Sch05] |
U. Schollwöck, The density-matrix renormalization group, Rev. Mod. Phys. 77, 259 (2005)
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[Cep95] |
D. M. Ceperley, Path integrals in the theory of condensed helium, Rev. Mod. Phys. 67, 279 - 355 (1995).
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[Noa05] |
R. Noack, S. Manmana, Diagonalization- and Numerical Renormalization-Group-Based Methods for Interacting Quantum Systems, preprint cond-mat/0510321
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[Sca98] |
Richard Scalettar, Quantum Monte Carlo for Lattice bosons, lecture notes of NATO Advanced Study Institute: Quantum Monte Carlo Methods in Physics and Chemistry, Cornell University, 1998
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[Mur98] |
Alejandro Muramatsu, Quantum Monte Carlo for lattice fermions lecture notes of NATO Advanced Study Institute: Quantum Monte Carlo Methods in Physics and Chemistry, Cornell University, 1998
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[Hel06] |
K. Held, I.A. Nekrasov, G. Keller, V. Eyert, N. Blümer, A.K. McMahan, R.T. Scalettar, Th. Pruschke, V.I. Anisimov, and D. Vollhardt, Realistic investigations of correlated electron systems with LDA+DMFT,
phys. stat. sol. (b) 243, 2599 (2006)
[Psi-k Newsletter #56, p. 65-103 (April 2003)].
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Originalarbeiten
[Lan85] |
D. P. Landau, K. Binder, Phase diagrams and critical behavior of Ising square lattices with nearest-, next-nearest-, and third-nearest-neighbor couplings, Phys. Rev. B 31, 5946 - 5953 (1985)
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[Mon07] |
James L. Monroe, Seung-Yeon Kim, Phase diagram and critical exponent nu for the nearest-neighbor and next-nearest-neighbor interaction Ising model, Phys. Rev. E 76, 021123 (2007)
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[Gub91] |
J. E. Gubernatis, Mark Jarrell, R. N. Silver and D. S. Sivia, Quantum Monte Carlo simulations and maximum entropy: Dynamics from imaginary-time data, Phys. Rev. B 44, 6011 - 6029 (1991)
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[Vid77] |
H. J. Vidberg and J. W. Serene, Solving the Eliashberg equations by means of N-point Padé approximants, JLTP 29, 179 (1977)
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[Ski84] |
J. Skilling, R. K. Bryan, Maximum Entropy Image Reconstruction - General Algorithm, Mon. Not. R. astr. Soc. 211, 111 (1984)
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[Bry90] |
R. K. Bryan, Maximum entropy analysis of oversampled data problems, Eur. Biophys. J. 18, 165 (1990)
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Ankündigung / Planung
- Geplanter Inhalt:
- Wdh: Datenanalyse
- Ising-Modell mit Wechselwirkung zwischen nächsten und übernächsten Nachbarn
- Heisenberg-Modell, t-J-Modell, Hubbard-Modell
- exakte Diagonalisierung (ED), Quanten-Monte-Carlo-Simulationen (QMC), ggf. Numerische Renormierungsgruppe (NRG), ggf. Dichtematrix-Renormierungsgruppe (DMRG)
- ggf. Grundlagen der Dichtefunktionaltherie (DFT) inklusive lokaler Dichte-Näherung (LDA)
- Dynamische Molekularfeld-Theorie (DMFT)
- Lösungsverfahren für DMFT, insbesondere Hirsch-Fye QMC
- Geplante Form:
- Vorlesung (meist an der Tafel, teilweise mit Beamer)
- Übungen (etwa alle 14 Tage: Programmierung und/oder forschungsnahe Anwendung/Auswertung)
- Seminarvorträge (während und am Ende des Semesters)
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