Prof. Dr. Nils Blümer

• Organisation und Inhaltsüberblick (Besprechung Merkblatt, Login/Passwort Download-Bereich, Einteilung der Übungsgruppen)
• Kurze Erläuterung zu Aufgabenblatt 1 (Achtung, Korrekturen in Aufgabe 1: α, λ sollen Element von R sein, nicht R³; Gleichung 3 soll lauten: F(x)= a x x, d.h. Kreuz- statt Skalarprodukt)
• Einführung Theorie II (Anfang Kapitel 7: Lagrange-Formalismus): Lebensdaten der wichtigsten Akteure; Analytische Mechanik als Fundament der Theoretischen Physik; wozu neue Theorien/Formalismen jenseits der Newton-Bewegungsgleichungen? Systeme mit Zwangsbedingungen; Übergang Quantenmechanik -> klassische Mechanik; Alternative: Molekulardynamik-Simulationen.
• Kapitel 7.1: Die Newton´sche Mechanik: Deterministisches Prinzip, Newton´sche Bewegungsgleichung, 3. Newton´sches Gesetz für innere Kräfte, Potential

• Abgeschlossene Systeme: Relativitätsprinzip, Forminvarianz unter Galilei-Trafos, Erhaltungssätze; Teilsysteme: nur Komponenten von P, L erhalten.
• Kapitel 7.2: Die Lagrange-Funktion: fundamentale skalare Funktion; Unterscheidung 6N+1 Variablen von physikalischer Bahn X_φ(t); Konstruktion der Lagrange-Gleichung in kartesischen Koordinaten für zunehmend komplexe Fälle.

• Abschluss Kapitel 7.2, insbesondere Einführung der Dissipationsfunktion
• Kapitel 7.3: Das Hamilton´sche Extremalprinzip: Wirkungsfunktional, Variation, Funktionalableitung, Äquivalenz Hamilton´sches Prinzip zur Lagrange-Gleichung

• 7.3.1: Einfache Beispiele aus der Variationsrechnung: Kürzeste Verbindung zwischen 2 Punkten, Brachistochrone
• Kapitel 7.4: Invarianzen der Lagrange-Gleichung
• 7.4.1: Addition einer vollständigen Zeitableitung

• 7.4.2 Galilei-Invarianz: Rückführung der Galilei-Trafo auf totale Zeitableitung für (a) abgeschlossene Systeme, (b) Teilsysteme mit wirbelfreien bzw. elektromagnetischen Kräften
• 7.4.3 Eichinvarianz Rückführung auf totale Zeitableitung (vgl. Aufgabe 10)
• 7.4.4 Invarianz unter Zeitumkehr: nur für abgeschlossene Systeme oder bei besonderen Symmetrien (z.B. statische wirbelfreie Kräfte)

• Kapitel 7.5: Zwangsbedingungen: Anzahl Freiheitsgrade f<3N; holonome/nicht-holonome, rheonome/skleronome Zwangsbedingungen; verallgemeinerte Koordinaten, Konfigurationsraum Q, Bewegungsmannigfaltigkeit; Exakte, integrable Differentiale, integrierender Faktor
• Beispiele: sphärisches/mathematisches Pendel, Hantelmolekül, lineares Polymer, starrer Körper, gleitende Kugel auf Ebene, angetriebenes Pendel
• Kapitel 7.6 Verallgemeinerte Koordinaten: verallgemeinerte Geschwindigkeiten, Tangentialvektoren, Funktional T(q, ^•q, t) strikt konvex als Funktion der verallg. Geschwindigkeiten ^•q

• 7.6.1 Die Bewegungsgleichung in verallgemeinerten Koordinaten: Unterscheidung kartesische Kräfte F_i^K und Zwangskräfte F_i^Z; Tangentialebenen, virtuelle Verrückung, virtuelle Arbeit, verallgemeinerte Kräfte, Bewegungsgleichung in verallgemeinerten Koordinaten
• 7.6.2 Verallgemeinerte Kräfte: zentrales Postulat der analytischen Mechanik: Zwangskräfte senkrecht auf Bewegungsmannigfaltigkeit, kein Beitrag zur virtuellen Arbeit; Herleitung Lagrange-Gleichung 2. Art für a) geschwindigkeitsunabhängige Kräfte

• Korrektur zu Vorlesung 7 (Vertauschung von Ableitungen bei Herleitung der Lagrange-Gleichung 2. Art); Punkttransformation; reale Arbeit von Zwangskräften bei rheonomen Zwangsbedingungen
• Herleitung Lagrange-Gleichung 2. Art für b) Lorentz-Kräfte; Lagrange-Funktion strikt konvex als Funktion der verallg. Geschwindigkeiten ^•q; Eichinvarianz; Verallgemeinerung der Lagrange-Gleichung 2. Art für c) Reibungskräfte; d´Alembertsches Prinzip; Unterschied Teilchenbahnen - virtuelle Verrückungen

• 7.8 Das Hamilton´sche Prinzip in verallgemeinerten Koordinaten
• 7.9 Die Lagrange-Gleichungen der ersten Art
• Beispiel: sphärisches Pendel

• Variationsprinzip für Lagrange-Gleichungen 1. Art (Aufgabe 17); Zwangskräfte alternativ aus Lagrange-Gleichungen 2. Art
• 7.10 Erhaltungsgrößen: Jacobi-Integral und seine Beziehung zur Energie, zyklische Koordinaten, verallgemeinerter Impuls, Transformationstheorie
• 7.10.1 Elimination von zyklischen Koordinaten, Routh-Funktion

• 7.10.2 Die Zeit als zyklische Koordinate
• 7.11 Das Noether-Theorem: Invarianzen der Lagrange-Gleichung unter kontinuierlichen Transformationen (ohne Gleichförmigkeitstransformation) implizieren Erhaltungsgrößen

• Anwendung des Noether-Theorems für Galilei-Transformationen
• 7.12 Nicht-holonome Zwangsbedingungen

• Kapitel 8: Hamilton-Formalismus
• Historische Einordnung, Motivation (elegant, Störungstheorien, mehr Invarianzen, Basis für Quantenmechanik)
• Definition der Hamilton-Funktion (über Jacobi-Integral und verallgemeinerte Impulse)
• 8.1 Die Legendre-Transformation: Konvexitätsbedingung, Hilfsfunktion, Dualität, Young´sche Ungleichung, Beispiele
• 8.1.1 Funktionen mehrerer Variabler: Gradientenmatrix positiv, Maximum eindeutig

• Legendre-Transformierte G(v) von F(u); Young'sche Ungleichung im Vektorfall
• 8.1.2 Funktionen mit zusätzlichen Dummy-Variablen
• 8.1.3 Anwendung auf die Lagrange-Funktion: kanonisch konjugierter Impuls, L(q,^•q,t) -> H(q,p,t), Nichteindeutigkeit der Hamilton-Funktion, Hamilton-Gleichungen

• Zeitentwicklung von H_φ, Observablen und Messgrößen
• 8.2 Beispiele für die Wirkung des Hamilton-Formalismus
• 8.2.1 Geschwindigkeitsunabhängige Kräfte: Struktur H=T+V nur, falls T nicht explizit zeitabhängig; Beispiele: einzelnes Teilchen, harmonische Oszillator
• 8.2.2 Lorentz-Kräfte
• 8.3 Ein Variationsprinzip für die Hamilton-Gleichungen

• 8.2.3 Kleine Schwingungen: Allgemeine Behandlung im Lagrange- und Hamilton-Formalismus

• 8.4 Erhaltungsgrößen und Poisson-Klammer: Definition und Eigenschaften der Poisson-Klammer, Anwendung auf Erhaltungsgrößen
• 8.5 Kanonische Transformationen: Definition kanonische Transformation, Beispiel Reskalierung der Impulsvariablen. Berührungstransformationen, die durch F₁(q,q´,t) erzeugt werden.

• 8.5.1 Alternative Formulierungen der Berührungstransformation: F₂, F₃, F₄ mit Legendre-Transformationen. Beispiele: Identität, Vertauschung Koordinaten - Impulse
• 8.5.3 Infinitesimale Berührungstransformationen: Definitionen, Beispiele Anwendungen: Translationen, Zeitentwicklung; Ausblick: Hamilton-Jacobi-Theorie

• 8.3.1^* Die Hamilton-Jacobi-Gleichung Hamilton-Jacobi-Gleichung (HJG): eine partielle DGL als Alternative zu Systemen von f gewöhnlichen DGL 2. Ordnung (Lagrange-Gleichungen) bzw. 2f gewöhnlichen DGL 1. Ordnung (Hamilton-Gleichungen); Vorschrift für Berührungstransformation auf triviales System (mit verschwindender Hamilton-Funktion); verkürzte HJG.
• Beispiele/Anwendungen: freies Teilchen, Teilchen im Schwerefeld, allgemeiner 1-dimensionaler Fall

• Nachtrag zur Wahl des verallgemeinerten Impulses in 1-dimensionalem Fall.
• Erzeugende Funktion S^* in Hamilton-Jacobi-Formalismus entspricht Wirkung bei freiem Endpunkt
• 8.6 Kanonische Transformationen und Poisson-Klammer: Fundamentale und allgemeine Poisson-Klammern sind unter beliebigen Berührungstransformationen erhalten (nicht jedoch beliebigen kanonischen Trafos)
• 8.7 Schlussbemerkungen: Liouville-Theorem über Erhaltung des Phasenraumvolumens unter Zeitevolution bzw. Berührungstrafos; Ausblick auf nichtholonome Zwangsbedingungen.

• Kapitel 6: Spezielle Relativitätstheorie (Ergänzungen zu Theorie I)
• Kurzwiederholung 6.1 und 6.2: Konstanz der Lichtgeschwindigkeit, Relativität der Gleichzeitigkeit, Zeitdilatation, Längenkontraktion; Invarianter Abstand, Eigenzeit, Lorentz-Transformation, Lichtkegel, absolute Zukunft/Vergangenheit, absolut entfernt.
• 6.3 4-Schreibweise und Lorentz-Transformationen: Kontra- und kovarianter 4-Orts-Vektor, metrischer Tensor, ko-/kontravariante Ableitung; Linearität und Inverse der Lorentz-Transformation.
• 6.3.1 Poincaré- und Lorentz-Transformationen: Poincaré-Trafo (mit Inhomogenität), Lorentz-Gruppe, eigentliche orthochrone Lorentz-Gruppe, Lorentz-Boosts.

• Fortsetzung Lorentz-Boosts, Verifikation der Metrik-Bedingung sowie Inverse für Drehungen und Lorentz-Boosts.
• 6.4 Physikalische Konsequenzen der Lorentz-Invarianz: Formale Herleitung von Zeitdilatation und Lorentz-Kontraktion. Interpretation: Zwillingsparadoxon (Wiedertreffen nur mit Beschleunigung). Transformation von Geschwindigkeiten und Winkeln; Relativistische Aberration.
• (Evaluation der Vorlesung)

• 6.5 4-Vektoren: ko/kontra-varianter 4-Vektor, Quadrat, Lorentz-Skalar, Skalarprodukt, 4-Divergenz, 4-Geschwindigkeit, 4-Beschleunigung
• Beispiele/Anwendungen: Ladung, Ladungsdichte, 4-Stromdichte, Kontinuitätsgleichung; 4-Potential, 4-Wellenvektor; Relativistischer Doppler-Effekt
• 6.6 Masse und Energie: relativistischer Impuls, Energie, Ruheenergie, 4-Impuls
• 6.7 Die Lorentz-Kraft und elektromagnetische Felder (entspricht etwa 9.2 im Skript): Dyadisches Produkt, ko/kontravariante / gemischte Dyaden bzw. Tensoren 2. Stufe, elektromagnetischer Feldtensor

• Transformationsvorschriften für elektromagnetische Felder, Lorentz-Kraft, Bewegungsgleichung
• Kapitel 9: Relativistische Dynamik: relativistische Verallgemeinerung der Methoden von Kapitel 8 und 9, aber ohne Zwangsbedingungen; 9.1 und 9.2: redundant
• 9.3 Kräftefreie Teilchen: Lorentz-invariantes Wirkungsfunktional S_M, Ereignisse, Bewegungsgleichung, verallgemeinerter Impuls, Jacobi-Integral, Hamilton-Gleichungen, Drehimpuls: räumlich-räumliche Komponenten eines asymmetrischen Tensors

• Thema: Was Sie immer schon über Analytische Mechanik wissen wollten, aber nie zu fragen wagten
• Wir (N. Blümer, E. Gorelik, ggf. Tutoren) beantworten bzw. diskutieren mit Ihnen ab 9 Uhr im Newton-Raum Ihre Fragen zum Inhalt der Vorlesung, zu den Übungsaufgaben, zu vermuteten Fehlern im Skript etc.
• Bitte schicken Sie Ihre Fragen (insbesondere zu Übungsaufgaben) vorab per Email an Dr. Elena Gorelik, möglichst bis Mittwoch Abend.
• Achtung: es handelt sich nicht um ein Repetitorium - ohne gute Fragen keine nützlichen Antworten!

• 9.4 Wechselwirkung mit dem elektromagnetischen Feld: Wirkung, Lagrange-Funktion, kanonischer und kinetischer Impuls, Hamilton-Funktion, Herleitung der Bewegungsgleichung, Impulsänderung und Leistung (wie nichtrelativistisch)
• 9.5 Das Coulomb-Problem für ein einzelnes Teilchen: Wirkung und Bewegungsgleichungen im Coulomb-Zentralpotential, Energie/Drehimpulserhaltung, Polarkoordinaten
• Kreisbahnen: relativistisch nur möglich für L>L_min, Verhalten von u(x), L(x), T(x) bei nichtrelativistischer Rechnung

• Exkurs - Visualisierung relativistische Effekte: Fliegende Würfel, Einstein auf dem Fahrrad, Flug durch Brandenburger Tor und durch Tübingen (Filme von http://www.tempolimit-lichtgeschwindigkeit.de/)
• Kreisbahnen: Verhalten von u(x), L(x), T(x) im relativistischen Fall
• Gedankenexperiment: Teilchenbahn nach tangentialem Start im Abstand x₀ - nichtrelativistisch und relativistisch. Ellipsenbahnen als Schwingungen um Gleichgewichtsabstand. Instabilität für kleinen Drehimpuls im relativistischen Fall. Nichtexistenz eines effektiven relativistischen 1-Teilchenpotentials.
• Rechnung/Bilder für allgemeine Bahnen, insbesondere Spiralbahnen für L=L_min^K.

• Nachtrag: Rechnung/Bilder für allgemeine Bahnen bei L>L_min^K.
• Kapitel 10: Der starre Körper - Beispiele: Kinderkreisel, Bumerang, Flugzeug, Himmelskörper etc.
• 10.1 Anzahl der Freiheitsgrade - 3x Translation + 3x Rotation = 6 Freiheitsgrade; diskrete Notation, Drehmatrix D, Euler-Winkel, externe Zwangsbedingungen
• 10.2 Kinetische Energie und Drehimpuls - Relativvektor ξ Matrix Ω, gestrichene Größen für körperfestes Bezugssystem, Winkelgeschwindigkeit ω; Transformation von Skalaren, Vektoren und Tensoren

• Rotationsenergie, Trägheitstensor I, Trägheitsmoment J, Drehimpuls L_rot=Iω, Trafo auf körperfeste Koordinaten, Diagonalisierung des Trägheitstensors (doppelt-gestrichene Größen), Hauptträgheitsmomente/achsen, Massentensor

• 10.3 Die Bewegungsgleichungen des starren Körpers - Lagrange-Funktion, Lagrange-Gleichungen, Drehmoment, Euler-Gleichungen (allgemein und für diagonalen Trägheitstensor), Äquivalenz zur Winkel-Lagrange-Gleichung
• 10.4 Explizite Form von D, Ω, Ω^-, ω, ω^- - Euler-Winkel: Illustration anhand des Kreisels (θ₂=Neigungswinkel)
• Kurze Vorstellung der Musterlösung zur Klausur, Diskussion der Bahnkurve eines relativistischen Teilchens im homogenen statischen E-Feld (Aufgabe 4) im Vergleich zum nichtrelativistischen Grenzfall.

• Explizite Form von DO sowie ω(θ^.), W^--, potentielle Energie
• 10.4.1 Zusätzliche Zwangsbedingungen - starrer Rotator, symmetrischer Kreisel: Lagrange-Funktion
• 10.5 Anwendung der Euler-Bewegungsgleichung - Betrachtung ohne Drehmoment, Kugelkreisel, Lösung der Euler-Gleichung für freien symmetrischen Kreisel, reguläre Präzession/Nutation, Anwendung auf Erdrotation.
• 10.6 Anwendung der Lagrange-Bewegungsgleichung
• 10.6.1 Der (symmetrische) schwere Kreisel - Trägheitsmomente mit Steinerschem Satz, Lagrange-Funktion, zyklische Variable, effektives 1-d-Problem für Koordinate θ₂
• Anwendung/Ausblick: Levitron (Link zu Hersteller, Wikipedia-Eintrag). Bemerkung: das in der Vorlesung gezeigte Modell ist das originale (von 1997, wie z.B. auf dem tip sheet gezeigt). Aktuelle Modelle sind weiter optimiert; für absolute Grobmotoriker gibt es sogar einen elektrischen Starter. Interessant auch die Gewichtsangaben unter instructions.

• Hörsaal 20, 10-13 Uhr, ggf. mit leichter Verzögerung wegen vorheriger Experimentalphysik-Vorlesung.
• Gleiche Bedingungen wie Hauptklausur.

Einteilung nach Übungsgruppen:

Hilfsmittel: keine, nur eigene Stifte und ggf. Proviant (also insbesondere kein eigenes Papier, Taschenrechner, Bücher, MP3-Player, Handies etc.)

Last changed: 01-Oct-13