Prof. Dr. Nils Blümer

• Organisation und Inhaltsüberblick
• Kurze Erläuterung zu Aufgabenblatt 1
• Kapitel 0: Einführung: Theorie der Kondensierten Materie vs. Theoretische Festkörperphysik vs. Chemie, Einbettung in Gesamtgebäude der Physik auf mittleren Skalen, Statistische Physik für Atomkerne und Elektronen mit Coulomb-Wechselwirkung, allgemeiner Hamilton-Operator, kleiner Parameter: m/M

• Slides: Beispiele für typische Fragestellungen in der Festkörperphysik: Quantum Monte Carlo simulations of ultracold fermions on optical lattices within dynamical mean-field theory
• Kapitel 1: Periodische Strukturen: Kristall als normale Tieftemperaturstruktur von Festkörpern; Ausnahmen: Gläser, Kunststoffe, amorphe Metalle ...
• 1.1 Kristall-System und Kristall-Gitter: Bravais-Gitter, Basisvektoren, (primitive) Einheitszelle, Wigner-Seitz-Zelle
• 2 Dimensionen: quadratisches, rechtwinkliges, hexagonales, schiefwinkliges System; zentriert-rechtwinkliges Gitter
• 3 Dimensionen: 7 Kristallsysteme, 14 Bravais-Gitter, kubische Gitter (sc, fcc, bcc)
• Kristall-Struktur: Gitter mit Basis, z.B. NaCl oder Diamant
• 1.2 Reziprokes Gitter

• Nachtrag: konventionelle Einheitszelle, Matrixschreibweise für reziprokes Gitter
• Brillouin-Zone, BZ des fcc-Gitters mit Symmetriepunkten; Beispiel: Dreiecksgitter
• Reziproke Gittervektoren und Gitterebenen, Miller-Indizes
• 1.3 Periodische Funktionen: Fourier-Reihe über reziproke Gittervektoren; vollständige orthonormale Funktionensysteme
• Anwendungsbeispiel: Kristallstrukturanalyse: elastische Streuung, Bragg-Reflexionsbedingung

• Kapitel 2: Entkopplung von Gitter und Elektrondynamik
• Allgemeine Festkörper-Schrödingergleichung (in SI-Einheiten), kleiner Parameter m/M
• 2.1 Born-Oppenheimer-Entwicklung: dimensionslose Koordinaten, Längenskala: Bohr-Radius, Energieskala: Rydberg
• Grenzfall m/M=0, Entwicklung nach elektronischen Wellenfunktionen, Übergangsmatrix, Ionen-SG
• Abschätzung der Energieskalen in Potenzen von m/M

• Übung: Besprechung Aufgabenblatt 1
• 2.2 Bindung und effektive Kern-Kern-Wechselwirkung: empirische Ansätze auf Basis von 2-Körper-Potentialen, Struktur von v(R)
• van-der-Waals-Bindung, Lennard-Jones-Potential, Kristallkonstante (z.B. für fcc-Gitter)
• Ionen-Bindung, Madelung-Konstante, kovalente-Bindung, Morse-Potential, metallische Bindung, harmonische Näherung

• Kapitel 3: Gitterschwingungen (Phononen)
• 3.1 Harmonische Näherung: ionischer Hamilton-Operator in harmonischer Näherung, Massentensor, dynamische Matrix, Ansatz ebener Wellen
• Exkurs: Ehrenfest-Theorem
• 3.2 Klassische Bewegungsgleichungen: Kraftkonstante, ebene Wellen, Polarisationsvektoren, allgemeine Lösung
• Beispiel: lineare 1-atomige Kette

• Besprechung Übung?
• 3.3 Periodische (Born-von-Karman) Randbedingungen
• 3.4 Quantisierte Gitterschwingugen, Phononen: Phononen als Quasiteilchen, Besetzungszahlen, Dispersionsrelationen, Entwicklung um q=0, akustische versus optische Phononen

• 3.5 Thermodynamik der Gitterschwingungen, Debye- und Einstein-Modell: Innere Energie und Bose-Funktion, Grenzfälle hoher und tiefer Temperaturen, Schallgeschwindigkeiten, spezifische Wärme
• Debye-Modell, -Temperatur, -Frequenz

• Spezifische Wärme im Debye-Modell, Debye-Funktionen, Vergleich mit Experiment
• Einstein-Modell, -Temperatur, Energielücke
• 3.6 Phononen-Zustandsdichte: Zustandsdichte als Oberflächenintegral und als Imaginärteil einer retardierten Green-Funktion
• Beispiel: einatomige lineare Kette
• Van-Hove-Singularität, Zustandsdichte im Debye-Modell

• Klassifikation von van-Hove-Singularitäten in d=3: Minimum, Maximum, Sattelpunkt der Dispersion

• 3.7 Die harmonische Kette mit 2-atomiger Basis: periodische Delta-Funktion, Block-Diagonalisierung mit unitärer FT, char. Polynom, akustischer und optischer Phononenzweig für kleine q.
• 3.7.1 Spezialfall: M₁=M₂=M (2. Zweig wegen Verdoppelung der Einheitszelle)
• 3.7.2 Spezialfall: M₁≫M₂: Entwicklung in M₂/M₁ und Vergleich mit exakten numerischen Berechnungen
• Beispiel: experimentelle Phononendispersionen in 3 Dimensionen (i.A. keine energetische Trennung von akustischen und optischen Phononen)
• 3.8 Unzulänglichkeiten der harmonischen Näherung: keine thermische Ausdehnung, unendliche Wärmeleitfähigkeit

• 3.8.1 Jenseits der harmonischen Näherung: Entwicklung in 4. Ordnung in den Auslenkungen → wechselwirkende Phononen ohne Teilchenzahlerhaltung

• 3.8.2 Der thermische Ausdehnungskoeffizient: thermodynamische Relationen für Ausdehnungskoeffizient α_N und isotherme Kompressibilität κ_T,N, Grüneisenparameter γ_μ, spezifische Wärme
• 3.8.3 Berechnung der Grüneisen-Parameter für Bravais-Gitter mit 1-atomiger Basis: Entwicklung um verschobene Gleichgewichtslagen; Grüneisenparameter durch kubische Terme in Ableitungen des kubischen Potentials bestimmt

• 3.8.4 Elektronischer Beitrag zur thermischen Ausdehnung: Ableitung für freies Elektronengas
• Exkurs Quantengase: großkanonische Zustandssumme, großk. Potential, Druck, innere Energie, mittlere Besetzungszahl

• Zustandsdichte an der Fermikante ν(ε_F), Fermi-Temperatur, Vergleich mit phononischem Beitrag zur spezifischen Wärme für d=1,2,3, Kompressibilität
• 3.8.5 Nichtwechselwirkende Fermionen bei tiefen Temperaturen: Sommerfeld-Entwicklung: Pauli-Prinzip, Fermi-Funktion, Fermi-Energie, chemisches Potential, Sommerfeld-Entwicklung, Sommerfeld-Koeffizienten, Komplikationen bei Tieftemperaturentwicklung bei fester Dichte/Teilchenzahl.

• Kapitel 4: Elektronen im periodischen Potential
• Näherungen: starres Gitter, keine Elektron-Elektron-Wechselwirkung → Slater-Determinanten, Einteilchentheorie
• 4.1 Elektron im periodischen Potential, Bloch-Theorem: Translationsoperator, Vertauschungsregeln, Bloch-Theorem, periodische Randbedingungen, Wellenfunktion und Schrödinger-Gleichung in Impulsdarstellung

• Besprechung von Aufgabe 11: Freie Elektronen in d Dimensionen und die Sommerfeld-Entwicklung
• Berechnung der Zustandsdichte für Freie Elektronen: Musterlösung kom-ws10-07_ml_ab.pdf
• Sommerfeld-Entwicklung für die Energie in 4. Ordnung in T und Anwendung auf d=2,3: Musterlösung kom-ws10-07_ml.pdf
• Numerische Berechnung von Energie und spezifischer Wärme für d=2,3:
  • Programm free_electrons_E.c zur Energieberechnung E(T) bei konstanter Teilchenzahl/dichte
  • Skript deriv12.sh zur Berechnung von Ableitungen (über quadratische Fits)
  • Anwendungsbeispiel: ./free_electrons_E -d3 -e50. > energies_d3.dat && > spec_heat_d3.dat
  • Ergebnisse: spezifische Wärme (Numerik und Sommerfeld für d=2,3) spec_heat_free.png, spec_heat_free_cT_vs_T2.png (source files: spec_heat_free.gnu, spec_heat_free_cT_vs_T2.gnu), Konvergenzstudie als Funktion des oberen Grenze im Energie-Integral: spec_heat_free_cutoff.png

• Partielle Differentialgleichung für Bloch-Faktoren, Normierung der Wellenfunktion, Vergleich mit Phononen, Vollständigkeitsrelation
• 4.2 Näherung fast freier Elektronen: fouriertransformierte SG, reduziertes und ausgedehntes Zonenschema, Koeffizientengleichung in führender Ordnung im Gitterpotential V, quantenmechanische Brillouin-Wigner-Störungsreihe
• Für k-Vektoren ohnen Entartung: Rayleigh-Schrödinger-Störungsreihe, Korrekturen quadratisch in V; entartete Störungstheorie: lineare Aufspaltung an Entartungspunkten
• Beispiel: freie und quasi-freie Elektronen auf Quadratgitter bzw. kubischem Gitter (Czycholl, S. 105)

• 4.3 k·p-Störungsrechnung, effektiver Massentensor und Gruppengeschwindigkeit: Entwicklung der Dispersion um k=0 (ohne Entartung) → Tensor der (inversen) effektiven Masse, Entwicklung um k≠0

• Gradient der Dispersion als Erwartungswert der Blochfunktionen und als Gruppengeschwindigkeit
• Kramers-Theorem ε(-k)=ε(k) mit Verallgemeinerung auf allgemeine Punktsymmetrien
• 4.4 Modell starker Bindung (tight-binding-Modell), Wannier-Zustände: atomarer Grenzfall, Einfluss anderer Atome als Störung, Aufspaltung atomarer Niveaus im N-Teilchen-System, atomare Wellenfunktionen als Ansatz, Ritzsches Variationsprinzip, direkter Überlapp, Potential-Matrixelement, Dreizentren-Integral, Dispersion in TB-Näherung

• Wannier-Funktionen als FT von Bloch-Funktionen und als ONS, Dispersionsrelationen, Hüpfmatrixelement. Beispiel: kubisches Gitter (Dispersion, effektive Masse)

• Nachtrag zur Aufgabe 15 (exakte Lösungen): dispersion_Kronig_Penney.png, dispersion_Kronig_Penney2.png, dispersion_Kronig_Penney.gnu
• Wannier-Funktions-Formalismus: (i) Modell-Ansatz mit freien Parametern, (ii) als grobe Approximation, z.B. mit atomaren Wellenfunktionen, (iii) für groben Fit, z.B. mit LCAO-Methode (linear combination of atomic orbitals) (iv) numerisch
• Numerische Bandstruktur-Methoden (Überblick): Zellenmethode, Entwicklung nach ebenen Wellen, Augmented Plane Waves (mit Muffin Tin Potential), Green-Funktions-Methoden (Korringa-Kohn-Rostoker, KKR), Orthogonalized Plane Waves (OPW), Pseudopotential-Methoden. Lösen komplexes Problem: singuläres Potential, reduzierte Symmetrie.
• Bandstruktur-Methoden anwendbar auch auf wechselwirkende Elektronen im Rahmen der Dichtefunktional-Theorie (DFT).
• TB-Zustandsdichte für hyperkubisches Gitter: Fouriertransformierte ν(η) der Zustandsdichte → Bessel-Funktionen 1. Gattung J₀
• Exkurs Bessel-Funktionen: Bessel-Differentialgleichung (lineare gewöhnliche DGL 2. Ordnung), Bessel-Funktionen 1. Gattung J_n(x) und 2. Gattung Y_n(x), Darstellung
• Zustandsdichte der linearen Kette (d=1), Faltungsbeziehung zwischen Zustandsdichten bei separabler Dispersion

• Besprechung von Blatt 11 (exakte Lösungen fette, TB-Näherung dünne Linien): dispersion_Kronig_Penney3.png
• Vorstellung von Diplom- und Bachelor-Themen: talk_Mainz11_Bachelorthemen.pdf, Darstellung aktueller Forschung anhand eines Seminarvortrags: talk_Davis_10_QMC_FSMT_RDMFT_p.pdf

• Legendre-Funktion, vollständiges elliptisches Integral der 1. Akt, Zustandsdichten von Quadratgitter und einfach kubischem Gitter, Hyperkubisches Gitter im Limes d→∞, 2-d-Zustandsdichte aus Faltung
• Fermi-Fläche und Perfect Nesting (Beispiele: Quadratgitter, hyperkubisches Gitter)

• Kapitel 5: Elektronen im Magnetfeld
• Minimale Kopplung, magnetisches Moment, Bohr-Magneton, g-Faktor, Pauli-Matrizen
• 5.1 Pauli-Paramagnetismus: Spinbeitrag, Sommerfeld-Entwicklung, isotherme magnetische Suszeptibilität. Anwendung: freie Elektronen

• 5.1 Landau-Diamagnetismus freier Elektronen: Zyklotron-Frequenz, magnetische Länge, Entartungsgrad eines Landau-Niveaus, Euler-McLaurin-Summenformel, Landau-Suszeptibilität, de-Haas-van-Alphen-Effekt

• Kapitel 6: Elektron-Elektron-Wechselwirkung
• 6.1 Landau-Fermi-Flüssigkeitstheorie: Quasiteilchen, renormierte effektive Masse, endliche Lebensdauer, Phasenraum-Argument: Unterdrückung von Stoßprozessen
• 6.2 Dichtefunktionaltheorie (DFT): quantitative ab initio Theorie, Hohenberg-Kohn-Theorem (1964), Beweis nach Levy (1979), Hartree-Näherung, elektronische Korrelationen, Austausch, Thomas-Fermi-Näherung,
• Kohn-Sham-Gleichungen, Austausch-Korrelationsenergie, lokale Dichte-Näherung (LDA), Jellium-Modell, Iterationszyklus, Interpretationen der KS-Parameter als Dispersionsrelationen

Last changed: 31-Mar-14